Приведение квадратичной форма к каноническому виду ортогональным преобразованием

Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа

С помощью невырожденного линейного преобразования (замена переменных) произвольную форму можно привести к каноническому виду. Существует несколько способов приведения. Метод Лагранжа основан на выделении полного квадрата из квадратичного трехчлена.

На I-ом шаге выделяем полный квадрат из переменных, содержащих x₁, далее – x₂

Лекция 15

Т^-1АТ=L,

где Т- ортогональная матрица, по столбцам которой стоят собственные вектора, симметричные матрице А (ортонормированная), а L - диагональная матрица с собственными значениями на диагонали.

Теорема:

С помощью ортогонального преобразования любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду.

Док-во:

От перейдем к новым переменным , где Т –ортогональная матрица из собственных векторов матрицы А

Получим:

,,…,-собственные значения матрицы А

Канонический вид формулы

Алгоритм приведения к каноническому виду

- выписываем матрицу А

- находим собственные вектора и собственные значения

- строим ортонормированный базис из собственных векторов и выписываем матрицу Т

- пишем канонический вид формы

- указываем переход от к:

Закон инерции квадратичной формы

Теорема:

Число слагаемых с положительными и отрицательными коэффициентами при квадратах в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к каноническому виду.

Знакопостоянные квадратичные формы

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной если для любого

Опр.

Если для любого то форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной

Теорема:

Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной необходимо и достаточно чтобы все собственные значения матрицы формы были положительными (отрицательными).

Док-во следует из канонического вида:

;

y₁=1; y₂=y₃=…=y_n=0

Критерий Сильвестра знакоопределенности формы

Пусть дана матрица

Опр.

Угловыми минорами матрицы называются миноры , стоящие в левом верхнем углу: ; ;

Теорема: (Критерий Сильвестра)

Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры матрицы формы были положительными.

Док-во: при n=2

;

Отсюда , если или

Следствие

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определена необходимо и достаточно чтобы знаки угловых миноров чередовались так:

, , …

Пояснение

Если форма , то форма

Лекция 15

Исследование кривых второго порядка

Вспомогательный факт: при сдвиге системы координат, координаты преобразования

При повороте на угол j

Произвольная ортогональная матрица Т второго порядка с det T =1 может быть записана в виде

Общее уравнение прямой второго порядка

Левая часть уравнения содержит 3 группы слагаемых:

1)

матрица

2)

3)

Приведем квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием. Для этого делаем замену , где Т - ортогональная матрица, по столбцам которой стоят ортогональные вектора матрицы формы. В новых переменных форма принимает вид , где ,-собственные значения матрицы формы. Линейные слогаемые записываются в виде:

, где ,- некоторые числа. Все уравнение принимает вид:

Далее выделяем полный квадрат

Вводим новые переменные

Здесь предполагалось, что

В новых переменных ;

Далее рассматривается случай 1

1) - собственные значения одинаковых знаков.Считаем для определенности ,. Тогда если , уравнение приводится к виду

;

;

Если Н =0, то - это точки ,

Если Н < 0, то вещественного образа нет

Случай 2

Пусть . При этом уравнение приводится к одному из видов:

- гипербола

-сопряженная гипербола

- пара пересекающихся прямых

Случай 3

, т.е. одно из собственных значений равно 0. Пусть

Тогда после приведение формы к каноническому виду получится уравнение:

Выделяем полный квадрат:

Пусть : ,

Новые переменные

; -уравнение параболы

Если , то уравнение сводится к виду

;

;

Пара параллельных прямых либо образа нет

Дискриминант квадратичной формы

Дискриминантом квадратичной формы

Называется число

Лемма

Док-во

Собственные значения находятся из уравнения:

Теорема

Всякое уравнение n-ого порядка определяет эллипс если , гиперболу если

, параболу если , включая вырожденные случаи

Дата добавления: 2014-01-04