Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Приведение квадратичной форма к каноническому виду ортогональным преобразованием

Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа

С помощью невырожденного линейного преобразования (замена переменных) произвольную форму можно привести к каноническому виду. Существует несколько способов приведения. Метод Лагранжа основан на выделении полного квадрата из квадратичного трехчлена.

На I-ом шаге выделяем полный квадрат из переменных, содержащих x1, далее – x2

 

Лекция 15

Т-1АТ=L,

 

где Т- ортогональная матрица, по столбцам которой стоят собственные вектора, симметричные матрице А (ортонормированная), а L - диагональная матрица с собственными значениями на диагонали.

Теорема:

С помощью ортогонального преобразования любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду.

Док-во:

От перейдем к новым переменным , где Т –ортогональная матрица из собственных векторов матрицы А

Получим:

,,…,-собственные значения матрицы А

Канонический вид формулы

 

Алгоритм приведения к каноническому виду

 

- выписываем матрицу А

- находим собственные вектора и собственные значения

- строим ортонормированный базис из собственных векторов и выписываем матрицу Т

- пишем канонический вид формы

- указываем переход от к:

 

Закон инерции квадратичной формы

Теорема:

Число слагаемых с положительными и отрицательными коэффициентами при квадратах в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к каноническому виду.

Знакопостоянные квадратичные формы

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной если для любого

 

Опр.

Если для любого то форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной

 

Теорема:

Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной необходимо и достаточно чтобы все собственные значения матрицы формы были положительными (отрицательными).

 

Док-во следует из канонического вида:

;

y1=1; y2=y3=…=yn=0

Критерий Сильвестра знакоопределенности формы

Пусть дана матрица


Опр.

Угловыми минорами матрицы называются миноры , стоящие в левом верхнем углу: ; ;

 

Теорема: (Критерий Сильвестра)

 

Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры матрицы формы были положительными.

 

Док-во: при n=2

 

;

 

 

 

Отсюда , если или

Следствие

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определена необходимо и достаточно чтобы знаки угловых миноров чередовались так:

, , …

 

Пояснение

Если форма , то форма

Лекция 15

Исследование кривых второго порядка

Вспомогательный факт: при сдвиге системы координат, координаты преобразования

 

При повороте на угол j

 

 

Произвольная ортогональная матрица Т второго порядка с det T =1 может быть записана в виде

 

Общее уравнение прямой второго порядка

Левая часть уравнения содержит 3 группы слагаемых:

1)

матрица

 

2)

3)

Приведем квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием. Для этого делаем замену , где Т - ортогональная матрица, по столбцам которой стоят ортогональные вектора матрицы формы. В новых переменных форма принимает вид , где ,-собственные значения матрицы формы. Линейные слогаемые записываются в виде:

, где ,- некоторые числа. Все уравнение принимает вид:

Далее выделяем полный квадрат

 


Вводим новые переменные

Здесь предполагалось, что

В новых переменных ;

Далее рассматривается случай 1

1) - собственные значения одинаковых знаков.Считаем для определенности ,. Тогда если , уравнение приводится к виду

 

;

 

;

 

Если Н =0, то - это точки ,

Если Н < 0, то вещественного образа нет

 

Случай 2

Пусть . При этом уравнение приводится к одному из видов:

 

- гипербола

 

-сопряженная гипербола

 

- пара пересекающихся прямых

 

Случай 3

, т.е. одно из собственных значений равно 0. Пусть

Тогда после приведение формы к каноническому виду получится уравнение:

 

 

Выделяем полный квадрат:

 

 

Пусть : ,

 

 

Новые переменные

 

 

; -уравнение параболы

 

Если , то уравнение сводится к виду

 

;

;

Пара параллельных прямых либо образа нет

 

Дискриминант квадратичной формы

Дискриминантом квадратичной формы

 

Называется число

 

Лемма

Док-во

Собственные значения находятся из уравнения:

 

 

Теорема

Всякое уравнение n-ого порядка определяет эллипс если , гиперболу если

, параболу если , включая вырожденные случаи

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Преобразование матрицы квадратичной формы при линейных преобразованиях | Учебно-методическое пособие. по дисциплине «Обработка металлов давлением»
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1462; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.