Связь между линейными и угловыми величинами

Обратимся к рис. 1.4 и формуле (1.9). Для того чтобы связать линейную скорость произвольной точки А твердого тела с угловой скоростью вращения этого тела вокруг неподвижной оси ОО’, поделим обе части формулы на . Учитывая, что и , получим

, (1.10)

(она называется переносной) относительно другой инерциальной системы K (рис. 2.1). Для упрощения выберем оси координат X’, Y’, Z’ системы K’ параллельно соответствующим осям X, Y, Z системы K, причем так, чтобы оси Х и Х' совпадали друг с другом и были направлены вдоль вектора . Очевидно, если взять за начало отсчета времени момент, когда начала координат О и О' совпадали, то связь между радиусами-векторами и одной и той же точки А в K- и K’- cистемах может быть записана:

(2.1)

и, кроме того,

.

При этом подразумевается абсолютность пространства и времени, т.е. одинаковость длин отрезков и хода времени во всех ИСО. Продифференцировав (2.1) по времени, найдем классический закон преобразования скорости:

. (2.2)

и просуммировать моменты инерции этих так называемых элементарных масс, то получим момент инерции всего тела

где – радиус вращения i–й элементарной массы, а интеграл берется по всему объему тела (рис. 4.1,б). Для однородных тел, для которых плотность (где – масса тела, а – его объем, т.е. плотностьопределяется массой, заключенной в единице объема), момент инерции будет вычисляться по формуле

, т.е. .

Ниже приведены значения моментов инерции для некоторых однородных тел правильной формы с массой относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Таблица 2

Моменты инерции тел правильной формы

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

Для определения момента инерции тела относительно произвольной оси используется теорема Штейнера.

Теорема Штейнера: если известен момент инерции тела относительно оси ОО', проходящей через центр масс тела (обозначим его I_o), то момент инерции тела
относительно любой параллельной ей оси ZZ' (обозначим его ) равен

,

где – масса тела; d – расстояние между осями (рис.4.2).

Дата добавления: 2014-01-04