Элементы механики жидкостей

(Механика жидкостей и газов. Давление в жидкости и газе. Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли и следствия из него. Вязкость. Методы определения вязкости. Движение тел в жидкостях и газах. Внутреннее трение)

Линии и трубки тока, уравнение неразрывности

Гидродинамика занимается изучением движения несжимаемых жидкостей и их взаимодействия с твердыми телами. Для описания движения несжимаемых жидкостей, вводят понятие линий тока.

Линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором скорости , называются линиями тока. Густота линий пропорциональна величине скорости в данном месте.

В общем случае величина и направление вектора может меняться с течением времени. Если же вектор скорости в каждой точке жидкости остается постоянным, то течение называется установившимся, или стационарным. Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной, и линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц жидкости.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока называется трубкой тока. Ясно, что жидкость не может вытекать или втекать через боковую поверхность трубки тока. Так как жидкость несжимаема, то количество жидкости, протекающее через любое поперечное сечение одной и той же трубки тока одинаково. Следовательно, можно записать:

(1.66)

где ‑ поперечное сечение трубки тока, ‑ скорость жидкости для этой трубки тока. Данное уравнение называют уравнением неразрывности струи.

Уравнение Бернулли

Жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной.

Выделим в стационарно текущей, идеальной жидкости трубку тока очень малого сечения, так, чтобы скорость в любой точке этого сечения можно было считать одинаковой (см. рис. 1.31). Далее, в этой трубке тока выделим элементарный объем , ограниченный сечениями и . Через промежуток времени этот элементарный объем переместится вдоль трубки тока, но его объем останется тем же (т.к. жидкость несжимаема), в то время как сечение пройдет путь , а сечение ‑ . Изменение энергии этого элементарного объема складывается из изменения кинетической энергии и изменения потенциальной энергии:

(А)

Здесь ‑ плотность жидкости, ‑ масса выделенного объема жидкости, ‑ скорость жидкости в начальном положении элементарного объема, ‑ в конечном положении, ‑ кинетическая, ‑ потенциальная энергия элементарного объема жидкости в момент времени , ‑ кинетическая, ‑ потенциальная энергия этого объема в момент времени .

В идеальной жидкости силы трения отсутствуют, поэтому приращение энергии должно равняться работе, совершаемой над элементарным объемом силами давления. Т.е. можно записать:

(Б)

Приравнивая () и (), получим:

Преобразовав полученное равенство, запишем:

Так как сечения мы выбирали произвольно, то можно записать:

(1.67)

Полученное уравнение называется уравнением Бернулли и читается оно как

в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие

Для горизонтальной линии тока уравнение Бернулли принимает вид:

Внутреннее трение (вязкость) жидкости

Рассмотрим теперь течение реальной жидкости, обладающей внутренним трением. Как показывает опыт, в обычных условиях (в условиях ламинарного потока), течение жидкости будет происходить послойно. Т.е. жидкость разделится на слои, параллельные дну, и каждый слой имеет свою скорость.

Слой находящийся непосредственно у дна будет неподвижен. Следующий слой будет иметь некоторую скорость. Затем слой с еще большей скоростью и т.д. В результате, скорость будет изменяться вдоль направления, перпендикулярного вектору скорости (см. рис. 1.32). Такое изменение скорости обусловлено силами молекулярного взаимодействия, которые приводят к возникновению силы трения, касательной к поверхности слоя. Эта сила трения будет увлекать нижележащий слой, и тормозить выше лежащий слой. Величина этой силы определяется выражением:

где ‑ площадь поверхности соприкасающихся слоев, ‑ коэффициент вязкости, коэффициент внутреннего трения, динамическая вязкость или просто вязкость. Отношение называют градиентом скорости:

Он показывает быстроту изменения скорости по пространственной координате. Обычно уравнение для силы трения записывают в виде:

(1.68)

В этом виде оно называется уравнением Ньютона для вязкого трения. Коэффициент вязкости имеет размерность:

Жидкости, вязкое трение которых описывается уравнением (1.68), называются ньютоновскими жидкостями. В противном случае ‑ неньютоновскими.

Ламинарное и турбулентное течения. Число Рейнольдса.

Мы уже говорили, что стационарное течение жидкости является ламинарным, т.е. слоистым. Увеличение скорости течения вязкой жидкости приводит к образованию завихрений, вихрей ‑ турбулентности. При турбулентном течении скорость жидкости в данной точке уже не постоянная величина. Она меняется по величине и направлению случайным, хаотическим образом.

Характер течения жидкости в трубе (ламинарный или турбулентный) зависит от свойств жидкости, ее скорости и размеров трубы. Границу здесь определяет безразмерный параметр, называемый числом Рейнольдса (Re):

(1.69)

где ‑ плотность жидкости, ‑ скорость ее течения, ‑ диаметр трубы, ‑ динамическая вязкость. Если рассчитанное число Рейнольдса больше некоторого критического числа Рейнольдса , то движение жидкости будет турбулентным. Если ‑ турбулентным. Для гладких цилиндрических труб . Очень часто в рассмотрение вводят не динамическую вязкость, а кинематическую ‑ ‑ .

Ламинарное течение вязкой жидкости в круглых трубах.

Формула Пуазейля

Рассмотрим стационарный поток жидкости через трубу, радиусом (см. рис. 1.33). В этом потоке выделим объем ‑ коаксиальный цилиндр, радиуса . Вследствие симметрии задачи, ясно, что частицы жидкости, равноудаленные от оси трубы, будут иметь одинаковую скорость.

Для получения зависимости скорости течения жидкости по поперечному сечению трубы, воспользуемся условием стационарности. Жидкость движется с постоянной скоростью, следовательно, без ускорения, следовательно, сумма сил, приложенных к выделенному объему равна нулю. На выделенный объем (см. рис. 1.33) действуют силы давления и силы трения:

Из условия стационарности следует:

Преобразуем полученное уравнение:

т.к. при . Окончательно получим:

Это парабола. При . При .

Получим теперь выражение для объема жидкости , протекающей через поперечное сечение трубы за одну секунду.

За одну секунду, выделенный слой (см. рис. 1.34) переносит объем жидкости, равный:

где ‑ площадь заштрихованного кольца (см. рис. 1.34). Подставим сюда полученное ранее выражение для скорости:

Проинтегрируем получившееся уравнение:

Окончательно получим:

(1.70)

Это и есть формула Пуазейля (1799 – 1869), которая описывает объемный расход жидкости через круглую трубу, при ламинарном течении.

Методы определения вязкости жидкости

Метод Стокса.

В этом методе шарик падает в исследуемой жидкости.

В установившимся режиме падения шарик будет двигаться с постоянной скоростью. Следовательно, ускорение шарика будет равно нулю и, согласно второму закону Ньютона, сумма действующих на него сил будет равна нулю. На шарик действуют. Сила Архимеда (см. рис. 1.35) , где ‑ плотность жидкости, ‑ радиус шарика. Сила тяжести , где ‑ плотность материала шарика. Сила вязкого трения, которая для тел сферической формы определяется формулой Стокса , где ‑ скорость шарика в установившемся режиме, ‑ искомый коэффициент вязкости. На основании второго закона Ньютона запишем:

Отсюда получим искомое выражение для коэффициента вязкости:

Капиллярные вискозиметры.

В данном типе вискозиметров измеряют время прохождения известного объема исследуемой и эталонной жидкости через капиллярную трубку (см. рис. 1.36). Согласно формуле Пуазейля, объем жидкости , протекающий за время через трубку радиуса и длиной , определяется выражением:

где ‑ разность гидростатического давления жидкости между метками.

Через капилляр пропускают одинаковые объемы эталонной и исследуемой жидкости. А затем находят отношение объемов:

Гидростатическое давление определяется как:

где ‑ расстояние между метками. С учетом этого, отношение объемов примет вид:

Ротационные вискозиметры.

Имеются два соосных цилиндра. Между ними находится исследуемая жидкость. При одном методе вращают с постоянной скоростью один цилиндр и измеряют угол поворота второго цилиндра. При другом методе изменяют скорость вращения одного цилиндра, чтобы у другого был постоянный угол поворота.

Также вязкость определяют при центрифугировании.

Пространственно-временные соотноше­ния и их следствия. Понятие о релятивист­ской механике.

(Основы релятивисткой механики. Постулаты специальной теории относительности. Постоянство скорости света в различных системах отсчета. Преобразования Галилея. Преобразования Лоренца. Релятивистское изменение длин и промежутков времени. Релятивистский закон сложения скоростей. Основной закон релятивистской динамики. Закон изменения массы со скоростью. Взаимосвязь массы и энергии в специальной теории относительности.)

Известно, что механические волны, в частности звук, распространяются в какой-либо среде. В вакууме механические волны не распространяются.

Поэтому, когда было установлено, что свет (в частности и от звезд) ‑ это электромагнитные волны, естественно возникло представление о том, что и свет распространяется в некоторой среде, которую назвали эфиром. Вслед за этим возникла необходимость определить характеристики этого эфира.

Кроме того, необходимо было решить и фундаментальный вопрос о движении эфира. Здесь предоставляются три возможности.

1). Эфир совершенно не увлекается материальными телами при их движении. Тогда с эфиром можно связать абсолютную систему отсчета и уже относительно нее определять движение всех других систем отсчета.

2). Эфир частично увлекается материальными телами при их движении.

3). Эфир полностью увлекается материальными телами.

Рассмотрим экспериментальные данные относительно этой проблемы физики.

Звездная аберрация

Рассмотрим так называемую звездную аберрацию ‑ смещение углового положения звезд на небесном своде за счет орбитального движения Земли (см. рис. 1.26).

Пусть телескоп ‑ труба длиной со входным и выходным отверстиями ‑ направлен точно на звезду . Если Земля неподвижна относительно звезды, то луч света пройдет через телескоп и попадет на приемник света.

Если Земля движется со скоростью , то луч света не попадет на приемник, так как за то время , которое луч света идет от объектива до окуляра

где с ‑ скорость света, приемник света сместится на расстояние , равное

Следовательно, для того, чтобы луч света попал на приемник, необходимо телескоп наклонить на угол по ходу движения Земли (см. рис. 1.26). Этот угол определится из условия:

Поскольку скорость движения Земли по орбите много меньше скорости света , то тангенс угла можно заменить самим углом:

Через полгода, направление скорости Земли изменится на противоположное, и телескоп нужно наклонять в другую сторону под тем же углом . Полный угол аберрации будет, очевидно, равен:

Т.о., вследствие движения Земли по орбите, положение звезд на небесной сфере мы можем указать лишь с точностью до угла аберрации.

Были произведены измерения углов аберрации для некоторых звезд. А зная угол аберрации и орбитальную скорость Земли, можно определить скорость света.

Измерения дают для скорости света , что весьма близко к действительности.

Значение аберрации звезд двоякое.

1). Оно дает то же значение скорости света, что и измеренное в земных условиях и из экспериментов за наблюдением движения спутников Сатурна

и говорит о постоянстве скорости света.

2). Оно опровергает гипотезу полностью увлекающегося эфира, т.к. в этом случае ни о какой аберрации не могло быть и речи ‑ свет распространялся бы в эфире, неподвижном по отношению к телескопу (Земле).

Остается предположить, что эфир либо частично, либо вовсе не увлекается материальными телами.

Опыты Майкельсона

В 1887 году Майкельсоном был поставлен специальный эксперимент по проверке этой гипотезы. Идея эксперимента Майкельсона состоит в следующем.

Рассмотрим интерферометр, с взаимно перпендикулярными плечами (см. рис. 1.27). Плечи интерферометра и равны друг другу. Разность хода лучей и возникает вследствие того, что луч дважды проходит через пластинку , а луч ‑ один раз. Сама пластинка прозрачная, отражающая 50% падающего на нее света и пропускающая, соответственно, 50% света. Как известно, если разность хода между лучами и равна четному числу полуволн ‑ то выполняется условие максимума, и мы будем видеть в микроскоп пластинку светлой. Если же разность хода равна нечетному числу полуволн, то выполняется условие минимума, и мы будем видеть пластинку темной.

Однако, такое наблюдение неудобно. Поэтому зеркало ставят под небольшим углом, тогда интерференционная картина будет иметь вид полос равной толщины.

И при незначительном изменении разности хода эта система интерференционных полос будет смещаться относительно своего нулевого положения.

Такова будет схема интерференционных лучей в интерферометре, неподвижном относительно гипотетического эфира.

Предположим теперь, что интерферометр движется вместе с Землей относительно эфира со скоростью Земли в направлении плеча . Тогда, если раньше время хода луча было:

где ‑ длина плеча интерферометра, то теперь время хода луча будет:

т.к. луч идет к зеркалу со скоростью , а обратно ‑ .

Рассмотрим далее луч .

Раньше он затрачивал время, как и первый луч:

Теперь, пока луч будет идти от пластинки к зеркалу , это зеркало сместится в положение (см. рис. 1.28), и пока этот луч идет обратно к пластинке , зеркало будет в положении . Следовательно, луч света пройдет путь не , а :

Но , отсюда:

Следовательно, теперь луч затратит время равное:

При этом разность хода лучей и будет равна:

При повороте интерферометра на 90⁰ смещение изменит знак, следовательно, общая разность хода будет равна .

Число полос , на которое сместится интерференционная картина, будет соответственно равно:

В своем опыте Майкельсон использовал интерферометр, с плечом и свет, с длиной волны . При этом число полос, на которое должна сместиться интерференционная картина, должно быть равным

Чувствительность интерферометра Майкельсона порядка 0,01 полосы. Т.е. вполне удовлетворительная точность.

Многочисленные эксперименты на интерферометре Майкельсона, и другие аналогичные, дали отрицательный результат.

Эфирный ветер обнаружить не удалось!

Вывод.

Либо эфир полностью увлекается движущимися материальными телами, что противоречит явлению аберрации звезд, либо частично, но так, что не влияет на аберрацию звезд.

Таким образом, получается следующая картина.

1. Скорость света оказывается постоянной величиной, каким бы способом и в какой бы системе отсчета ее не измеряли.

2. Гипотеза существования эфира не могла объяснить одновременно и аберрацию звезд и отрицательный результат опытов Майкельсона.

Постулаты теории относительности

Отсюда вытекает вывод, что никакого эфира вообще нет.

На этом основании Эйнштейн сформулировал первый постулат специальной теории относительности, или, как говорят, принцип относительности Эйнштейна.

Все законы в природе инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Раньше этот принцип формулировался только по отношению к законам механики.

На основании того факта, что скорость света оказывалась постоянной величиной, был сформулирован второй постулат.

Скорость света в пустоте одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источника и приемника.

Эти два постулата заставляют отказаться от привычных понятий пространства и времени, как от неких абсолютных не связанных друг с другом категорий.

Особенно действующим на воображение является второй постулат. Он, в частности приводит к представлениям о взаимосвязи пространства и времени на таком простейшем примере.

Пусть имеются две инерциальные системы отсчета, движущиеся друг

относительно друга со скоростью вдоль осей (см. рис. 1.29).

В некоторый момент времени из точки посылают во все стороны световой сигнал. Свет распространяется с одной и той же скоростью по всем направлениям. Поэтому, неподвижных, относительно системы , точек и , находящихся на одинаковом расстоянии от точки , свет достигнет через одинаковые промежутки времени.

Т.е., два события ‑ достижения светом точек и ‑ в системе совершаются одновременно.

В системе , согласно второму постулату, свет также распространяется по всем направлениям с той же скоростью, что и в системе . Но точки и в системе движутся. Поэтому луч света сначала достигнет точку ‑ она движется ему навстречу, а потом точку ‑ она удаляется от него.

Т.е. то же событие в системе ‑ достижение светом точек и ‑ является неодновременным.

Таким образом, ход времени зависит от системы отсчета.

Преобразования Лоренца

Найдем теперь эти преобразования координат и времени, которые согласуются с постулатами Эйнштейна.

Для этого рассмотрим те же самые системы координат (см. рис. 1.29) и , движущиеся относительно друг друга со скоростью .

Пространство однородно (нет пока экспериментальных фактов, указывающих на неоднородность пространства). Тогда формулы преобразования координат не должны зависеть от переноса начала координат. Этому условию удовлетворяют лишь линейные преобразования.

Далее, плоскость совпадает с плоскостью . Из всего этого следует, что:

Поскольку системы и равноправные, можно записать:

Отсюда следует, что .

Знак плюс соответствует одинаковому направлению осей , а знак минус ‑ противоположному.

Итак

То же и для оси

В механике Галилея было

Отсюда следовало

Но это преобразование скоростей противоречит второму постулату. Действительно, если в системе , то в системе

что не может быть.

Следовательно, преобразования Галилея нужно заменить другими, но тоже линейными (в силу изотропности пространства). Поэтому запишем:

(А)

в силу равноправности систем и . Для нахождения воспользуемся вторым постулатом.

Пусть в момент времени, когда системы были совмещены ‑ , посылают свет, который производит вспышку на экране в точке . Это событие. Его координаты в системе будут:

В системе

Подставим это в уравнения (А) преобразования координат:

Перемножив эти два уравнения, получим:

Отсюда вытекает, что

Для сокращения, обычно пишут

Найдем теперь формулу преобразования времени.

Для этого исключим из системы (А) координату :

Раскроем скобки

Выразим отсюда время

Преобразуем получившееся уравнение

Раскроем теперь

Получили формулу преобразования времени.

Итак, мы получили следующие преобразования координат и времени.

(1.62)

Эти формулы носят название формул преобразования Лоренца, поскольку впервые их записал Лоренц.

При малых скоростях ‑ формулы Лоренца переходят в формулы Галилея.

Одновременность событий в разных системах отсчета

Пусть в системе в точках и в момент времени одновременно происходят два события. Тогда в системе координаты этих событий

1. Если , то и .

2. Если , то и и

Т.е. события, одновременные в системе могут быть не одновременными в системе .

Длительность событий

Пусть в некоторой точке системы происходит событие, длящееся :

В системе

- промежуток времени в системе , т.е. в системе, относительно которой тело (ракета) покоилось. Т.е. в системе координат, связанной с ракетой, т.е. собственное ракетное время.

- промежуток времени в системе , т.е. в системе, относительно которой тело (ракета) движется со скоростью . Т.е. в системе координат, связанной с Землей, т.е. собственное земное время.

Итак, если ракетное время равно 10 лет, то земное . Пусть . Тогда . При .

Длина тел в разных системах отсчета

Пусть в системе покоится стержень, длинной ., которую мы измеряем в один и тот же момент времени

Посмотрим, какова будет его длина относительно системы .

Следовательно

Т.е. аналогичное соотношение имеет место и для линейных размеров.

Если длина тела (ракеты) в системе координат, связанной с телом (ракетой) ‑ , то в системе координат, относительно которой тело движется (Земля) его размеры будут больше. При ‑ . При . Или, наоборот, у движущихся тел размеры в направлении движения сокращаются.

Релятивистское сложение скоростей

Скорость тела в системе определяется как

В штрихованной системе отсчета

Используя связь между найдем.

Отсюда вытекает:

И, аналогично

Если тело движется только вдоль оси

Пусть , тогда

Т.е. вытекает постоянство скорости света в разных системах отсчета.

Понятие о релятивистской динамике

Принцип относительности устанавливает, что все законы природы инвариантны относительно преобразований координат от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Однако законы Ньютона не инвариантны относительно преобразований Лоренца. Так, второй закон Ньютона в системе имеет вид:

Аналогичный вид он должен иметь и в системе :

Попробуем получить это с помощью преобразований Лоренца:

Отсюда следует, что при преобразованиях координат должна преобразовываться и масса тела. Закон преобразования массы имеет вид:

Необходимо отметить, что при этом преобразуются и силы, но это выходит за рамки нашего курса.

В этом случае, выражение для импульса материальной точки будет иметь вид:

При этом инвариантная форма записи второго закона Ньютона имеет вид:

Найдем релятивистское выражение для энергии. Для этого левую и правую части инвариантной формы второго закона Ньютона умножим на величину :

Но выражение , т.е. работа, совершенная над телом за время . Работа должна быть равна изменению энергии:

Вспомним, что . С учетом этого, выражение для изменения энергии примет вид:

Произведя дальнейшие преобразования, получим:

(1.64)

Либо:

В этом случае кинетическая энергия тела будет равна:

При малых скоростях, , выражение для кинетической энергии примет вид:

Т.е. при малых скоростях получили привычное выражение для кинетической энергии.

Получим теперь выражение для полной энергии через импульс. Итак, . Возведем это выражение в квадрат:

Аналогично, возведем в квадрат выражение для импульса:

Подставим сюда полученное выражение для квадрата скорости :

Преобразовывая далее, получим:

(1.65)

Собственные колебания..

(Колебательное движение. Классификация колебаний. Сво­бодные колебания. Собственные колебания на примере пружинного, математического и физического маятников. Гармонические колебания. Дифференциаль­ное уравнение гармонических колебаний, его решение. Гармонический осцилятор. Энергия гармонического осциллятора)

.

Дата добавления: 2014-01-04