Кривые второго порядка

Линии, определяемые уравнениями второй степени с двумя текущими координатами

называются кривыми второго порядка. Это уравнение на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) определяет окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

Окружность – множество точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки этой плоскости, называемой ее центром. Расстояние от точки окружности до центра называется радиусом окружности.

Напомним, уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид

,

уравнение окружности радиуса с центром в точке :

.

Рис Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через , расстояние между ними через , сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов через . По определению . Выберем ДСК так, чтобы фокусы лежали на оси , а начало координат совпадало с серединой отрезка . Тогда фокусы имеют координаты . Пусть – произвольная точка эллипса. По определению имеем , т.е.

.

Отсюда

.

Возведем обе части в квадрат, а затем уединим корень:

Возведем еще раз в квадрат и перегруппируем:

Обозначив , получим

– каноническое уравнение эллипса.

Числа называются полуосями эллипса. Степень «вытянутости» эллипса характеризует эксцентриситет

.

Рис Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через , расстояние между ними через , модуль разности расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов через . По определению . Выберем ДСК так, чтобы фокусы лежали на оси , а начало координат совпадало с серединой отрезка .

Докажите самостоятельно, что уравнение гиперболы в этом случае имеет вид

,

где обозначено .

Здесь – действительная, – мнимая полуоси гиперболы, прямые называются асимптотами. Эксцентриситет .

Парабола – множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки , называемой фокусом, и данной прямой , называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы.

Выберем ДСК как указано на рисунке. Тогда уравнение параболы имеет вид:

.

3. 1. Привести к каноническому виду уравнение и построить кривую.

Решение. Т.к. и входят в уравнение с одинаковыми знаками, но разными коэффициентами, то оно описывает эллипс. Сгруппируем слагаемые следующим образом

и, используя известную формулу выделения полного квадрата , выделим в выражениях в скобках полные квадраты:

.

После преобразований, получим:

или .

Это уравнение эллипса с центром в точке и полуосями . рис

3. 2. Привести к каноническому виду уравнение , построить кривую, найти координаты фокусов. рис

Решение. Разделив обе части уравнения на (-144), получим

.

Очевидно, это уравнение гиперболы, однако переменные и «поменялись ролями» – коэффициент при равен (-1), что следует учесть при построении линии: фокусы этой гиперболы расположены на оси . Чтобы найти их координаты, воспользуемся равенством . Откуда , т.е. .

3. 3. Найти проекцию фокуса параболы на прямую .

Решение. Рис Из уравнения параболы имеем: , т.е. координаты фокуса . Проекция на – точка пересечения и прямой, проведенной из перпендикулярно (обозначим ее ). Уравнение представлено в каноническом виде, числа являются координатами вектора, направляющего прямую, он же является нормалью к прямой . Используя уравнение прямой по точке и нормали (см…), получим: или

.

Координаты искомой точки пересечения прямых и должны удовлетворять их уравнениям, т.е. – решение системы

Первое уравнение преобразуется на основании свойства пропорции (произведение средних членов равно произведению крайних) к виду или . Решим полученную систему уравнений

,

например, по формулам Крамера: .

Ответ:

Уравнение поверхности и линии в пространстве

Пусть задана ДСК в пространстве. Уравнением поверхности называется такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной поверхности и не удовлетворяют координаты любой другой точки. Переменные называются текущими координатами точек поверхности.

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения поверхностей:

Плоскость описывается общим уравнением вида

,

где хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

3. 4. Дано: точка , вектор .

Найти: уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Выберем на плоскости произвольно точку с текущими координатами . Тогда вектор перпендикулярен вектору . Т.е. . Получим

– уравнение плоскости по точке и нормали (любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, будем называть нормалью).

Приведем без доказательства еще два вида уравнений плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точки (не лежащие на одной прямой):

.

Уравнение плоскости, отсекающей на осях координат ненулевые «отрезки» .

.

Дата добавления: 2014-01-04