Действие магнитного поля на токи и заряды

(Рамка с током в однородном и неоднородном магнитном поле. Магнит­ный момент контура с током. Момент сил, действующих на контур с током в однородном и неоднородном магнит­ном поле. Сила Лоренца. Сила Ампера. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Определение удельного заряда электрона. Метод скре­щенных полей. Масс-спектрометр. Эффект Холла. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Ускорители заряженных частиц.)

Контур с током в однородном магнитном поле

Рассмотрим прямоугольный контур в однородном магнитном поле (см. рис. 3.12).

Вектор магнитного момента контура будет направлен перпендикулярно плоскости контура от нас за чертеж. Туда же будет направлена и положительная нормаль к контуру . Вектор магнитной индукции расположен в плоскости контура и направлен слева направо.

На каждую сторону контура будет действовать сила, определяемая законом Ампера. Силы, действующие на стороны , будут равны нулю, т.к. токи в них параллельны и антипараллельны вектору магнитной индукции :

Силы, действующие на стороны , будут равны по модулю и направлены в противоположные стороны:

Эти силы создадут вращающий момент , модуль которого равен:

Или в векторной форме:

(3.20)

Т.е. контур с током в магнитном поле будет только поворачиваться, но не перемещаться в пространстве. Причем, как видно из рис. 3.12, вращаться он будет так, чтобы вектор стал параллельным вектору .

Рассмотрим теперь случай, когда контур развернулся так, что вектор параллелен вектору (см. рис. 3.13). Вектор перпендикулярен плоскости контура. На стороны контура со стороны магнитного поля действуют силы Ампера:

Как видим, в этом случае равнодействующая всех сил равна нулю и контур неподвижен. Но теперь и вращающий момент всех сил равен нулю и контур находится в равновесном положении. При этом вектор индукции совпадает с вектором магнитного момента контура, о чем мы говорили в самом начале раздела.

Таким образом, мы приходим к выводу, что формула (3.20) справедлива при любой ориентации прямоугольного контура.

Эта формула справедлива также и для контура произвольной формы и произвольной ориентации.

Перейдем теперь к рассмотрению поведения контура с током в неоднородном магнитном поле.

Контур с током в неоднородном поле

Пусть теперь плоский контур, для простоты круговой, находится в неоднородном магнитном поле. Только что мы выяснили, что контур произвольной формы в магнитном поле устанавливается так, что его магнитный момент становится параллельным вектору магнитной индукции. Поэтому, не теряя общности, рассмотрение мы начнем с того момента, когда контур занял равновесное положение (см. рис. 3.14).

Чтобы рассмотреть возникающие силы, рассмотрим сечение этого контура плоскостью чертежа (см. рис. 3.15).

Как видим, сила Ампера, действующая на элемент контура, теперь имеет составляющую, направленную воль вектора . Результирующая сила уже не будет равна нулю, и контур будет втягиваться в область более сильного поля. Величина этой втягивающей силы прямо пропорциональна и магнитному моменту контура, и градиенту индукции магнитного поля, который и характеризует степень неоднородности магнитного поля:

Рассмотрим теперь работу, которую необходимо совершить, чтобы переместить контур в пространстве.

Работа перемещения контура с током в магнитном поле

Вначале рассмотрим плоский контур, по которому течет ток силой и у которого одна сторона подвижна, как показано на рис. 3.16. Длина подвижной стороны равна . Поместим этот контур в однородное магнитное поле, индукция которого .

Сила, действующая на подвижную сторону со стороны магнитного поля, т.е. сила Ампера, будет равна:

Позволим этой подвижной стороне под действием силы Ампера переместиться на некоторое расстояние . На этом перемещении будет совершена элементарная работа , равная:

т.к. направление силы совпадает с направлением перемещения. Подставляя сюда выражение силы , получим:

Но произведение дает приращение площади контура ‑ . Произведение же индукции магнитного поля на приращение площади контура дает приращение магнитного потока (см. формулу (3.3)). Поэтому совершенную работу можно представить как:

(3.21)

Здесь ‑ изменение потока магнитной индукции. Отметим, что в (3.3) дается общее определение магнитного потока , когда индукция магнитного поля меняется по площади контура. Если же магнитное поле однородно, то поток магнитной индукции определяется как:

(3.22)

Здесь ‑ угол между положительной нормалью к контуру и вектором индукции магнитного поля, и, еще раз, магнитный поток измеряется в веберах ().

Пусть теперь произвольный контур перемещается во внешнем магнитном поле (см. рис. 3.17).

Обозначим через магнитный поток, пронизывающий контур в его начальном положении. Через магнитный поток, пронизывающий контур в его конечном положении. Через магнитный поток, пронизывающий переходной участок между начальным и конечным положениями контура.

Силы Ампера, действующие на элемент контура на участке (при обходе по часовой стрелке) составляют острый угол с направлением перемещения. Следовательно, работа сил на этом участке положительная.

Силы Ампера на участке составляют тупой угол с направлением перемещения, и работа этих сил, следовательно, отрицательна. Работа по перемещению участка контура из начального положения в конечное, будет равна:

Здесь было использовано уравнение (3.21).

Работа по перемещению стороны из начального положения в конечное (с учетом знака) будет равна:

Результирующая работа по перемещению контура будет равна сумме работ и :

Т.е. получили то же выражение для работы по перемещению контура во внешнем магнитном поле, что и (3.21).

Отметим, что работа по перемещению контура с током производится за счет работы источника тока, дающего ток в контур, а не за счет магнитного поля, так как сила Ампера перпендикулярна вектору индукции магнитного поля.

Если контур с током переворачивается в магнитном поле, то работа также равна: . Но так как направление нормали к контуру изменилось на , то изменение площади будет равно , следовательно, изменение магнитного потока будет равно . Поэтому работа по повороту контура будет равна:

С другой стороны, для поворота тела на угол необходимо совершить работу . Пусть теперь нашим телом является контур с током, находящийся в магнитном поле. Тогда момент сил, действующих на него со стороны магнитного поля, определяется выражением (3.20). Поэтому выражение для работы мы запишем в виде:

Следовательно, работа при таком подходе будет равна:

что совпадает с ранее полученным. Итак, во всех случаях, работа по перемещению контура с током в магнитном поле определяется выражением (3.21) ‑ .

Эта формула остается справедливой и для неподвижного контура, но изменяющегося во времени магнитном потоке. При этом работа совершается за счет энергии магнитного поля.

Движение заряженных частиц в магнитных полях.

Сила Лоренца

Мы видели, что на проводник с током со стороны магнитного поля действует сила Ампера. Но ток ‑ упорядоченное, направленное движение заряженных частиц. Следовательно, как и раньше (магнитное поле тока это совокупность полей, создаваемых каждым движущимся зарядом), так и теперь ‑ сила, действующая на проводник с током со стороны магнитного поля, является суммой сил, действующих на каждую, отдельную заряженную частицу.

Получим выражение для этой силы.

За основу возьмем закон Ампера (3.19). Произведение , как и раньше, представим в виде:

Здесь было использовано выражение (2.4) для плотности тока. Произведение числа частиц в единице объема на величину объема даст общее число носителей тока , т.е. общее число заряженных частиц. Поэтому последнее равенство перепишем в виде:

Подставив получившееся выражение в закон Ампера , получим:

Разделив ‑ силу, действующую на участок проводника со стороны магнитного поля на ‑ полное число заряженных частиц, находящихся в этом участке проводника, получим силу , действующую на отдельную частицу со стороны магнитного поля:

(3.23)

Здесь ‑ заряд частицы, ‑ скорость ее движения, ‑ вектор индукции магнитного поля. Эта сила называется силой Лоренца. Модуль этой силы равен:

где ‑ угол между вектором скорости частицы т вектором индукции магнитного поля.

Из выражения для силы Лоренца видно, что она равна нулю либо когда частица неподвижна ‑ , либо когда вектор направлен вдоль вектора , т.е. когда частица движется вдоль силовых линий магнитного поля.

Частица в магнитном и электрическом полях

Пусть заряженная частица движется в магнитном поле. На нее действует сила Лоренца. Согласно законам механики, эта сила вызывает ускорение частицы, величина которого определяется вторым законом Ньютона (I.1.26) ‑ . Подставляя выражение (3.23) для силы Лоренца, получим:

Из этого выражения вытекает, согласно правилу векторного произведения, что ускорение всегда перпендикулярно вектору скорости . Отсюда следует, что касательное вектору скорости ускорение равно нулю, а перпендикулярная вектору скорости компонента ускорения, т.е. нормальная компонента, равна модулю полного ускорения, определяемого предыдущим уравнением. Т.е. можно записать:

Проанализируем получившуюся систему.

Как известно из механики, тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю и его модуль определяется как производная от модуля скорости по времени (I.1.14) ‑ . Поэтому из первого уравнения системы вытекает:

Следовательно, магнитное поле не изменяет скорость заряженной частицы по модулю. Но в этом случае и кинетическая энергия заряженной частицы в магнитном поле остается постоянной:

Постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей.

Далее, нормальное ускорение. Как мы показали в механике, нормальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по направлению. И, кроме того, с позиции механики, нормальное ускорение равно (I.1.15) , где ‑ радиус кривизны траектории. Следовательно, из второго уравнения системы вытекает:

Из этого выражения можно найти радиус кривизны траектории, по которой будет двигаться заряженная частица в магнитном поле:

(3.24)

Если в пространстве, где двигается частица, наряду с магнитным полем, индукцией , существует еще и электрическое поле, напряженностью , то результирующая сила, действующая на частицу, будет определяться выражением:

(3.25)

Рассмотрим теперь частные, но практически важные, случаи.

Частица влетает перпендикулярно линиям индукции

Частица влетает в область магнитного поля так, что (см. рис. 3.18). И вектор , и вектор перпендикулярны вектору индукции . Поэтому траектория частицы будет плоской и представлять собой окружность, некоторого радиуса . Дело в том, что согласно (3.24) радиус кривизны траектории будет постоянным, т.к. все величины, входящие в (3.24), постоянны. А если радиус кривизны некоторой кривой постоянен, то эта кривая ‑ окружность. Радиус окружности можно рассчитать по формуле (3.24), положив в ней :

Длина этой окружности будет равна:

В этом случае время одного оборота, т.е. период вращения , будет равен:

(3.26)

Т.е. период вращения не зависит от скорости частицы. Это обстоятельство используют в ускорителях заряженных частиц.

Частица влетает под углом к линиям индукции

Частица влетает в область магнитного поля так, что вектор скорости образует угол с вектором индукции магнитного поля (см. рис. 3.19). Вектор скорости частицы можно представить в виде суммы двух компонент: одна направлена вдоль вектора индукции, вторая ‑ перпендикулярна линиям индукции.

При наличии перпендикулярной компоненты скорости частица, как и в предыдущем случае, будет двигаться по окружности, радиус которой определяется формулой (3.24).

Далее, по направлению вдоль силовых линий магнитного поля, ни какие силы не действуют. Следовательно, согласно первому закону механики, частица в этом направлении будет двигаться по инерции, т.е. с постоянной скоростью . За время одного оборота движения по окружности, которое оно совершает в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, частица вдоль линий индукции пройдет расстояние , равное:

(3.27)

В результате сложения этих движений в двух, взаимно перпендикулярных направлениях, траектория частицы будет представлять собой винтовую линию, шаг которой определяется по (3.27), а радиус определяется по формуле (3.24).

Эти примеры показывают, что заряженные частицы, влетающие в магнитное поле, в общем случае меняют направление своего движения и начинают навиваться на силовые линии магнитного поля.

Эффект Холла

Рассмотрим проводник в форме прямоугольной пластинки, по которой течет ток (см. рис. 3.20). Поместим эту пластинку с током в однородное магнитное поле так, чтобы вектор магнитной индукции был направлен перпендикулярно току, как показано на рис. 3.20. Поскольку электрический ток представляет собой движение заряженных частиц, то на эти заряженные частицы со стороны магнитного поля действует сила Лоренца.

Под действием этой силы заряженные частицы разных знаков будут скапливаться на боковых гранях проводника, образуя встречное поле, напряженностью , которое действует на заряды в противоположном силе Лоренца направлении.

При динамическом равновесии, сила, действующая на заряд внутри проводника со стороны электрического поля напряженностью , должна уравновешиваться силой Лоренца, действующей на этот заряд со стороны магнитного поля:

Здесь ‑ напряженность внутреннего поля, или напряженность поля Холла, ‑ коэффициент, учитывающий конкретный проводник. Следовательно, на боковых гранях проводника возникнет разность потенциалов :

где ‑ ширина проводящей пластинки. Используя выражение (2.4) для плотности тока в проводнике, выражение для скорости упорядоченного движения носителей тока в проводнике можно записать в виде: . Следовательно, холовская разность потенциалов будет определяться выражением:

(3.28)

Как видно, знак разности потенциалов зависит от знака носителей заряда. Следовательно, с помощью эффекта Холла можно определять знак носителей заряда в том или ином проводнике, полупроводнике. Кроме того, по величине разности потенциалов можно определять индукцию магнитного поля, в которое внесена пластинка, что используется в различного рода приборах для измерения индукции ‑ магнитометрах.

Кроме того, эффект Холла широко используется в электрооборудовании автомобилей, в качестве бесконтактного датчика зажигания.

Принцип действия масс-спектрографа

Итак, на частицу в электрическом и магнитном полях действует сила, определяемая выражением (3.25). Следовательно, она испытывает ускорение, которое согласно второму закону Ньютона, определяется как:

Т.е., изучая движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях, можно определить удельный заряд этих частиц ‑ отношение заряда частицы к ее массе. Это делают в приборах, которые называются масс-спектрографами.

Для этого, в начале нужно разогнать частицы до какой-либо скорости . Так как постоянное магнитное поле не изменяет кинетической энергии частицы, т.е. не увеличивает ее модуль, то для разгона частиц обычно используют электрическое поле. Как известно, работа электростатического поля равна изменению кинетической энергии частицы. Так как в начале частица покоилась, то ее начальная кинетическая энергия равнялась нулю. Поэтому, согласно (1.17), и теореме об изменении кинетической энергии, можно записать:

Таким образом, скорость, которую получит частица в результате работы поля, будет равна:

Пусть теперь частица влетает в область, где создано магнитное поле, причем так, что вектор ее скорости перпендикулярен линиям индукции магнитного поля. В результате, как отмечалось, она будет двигаться по окружности, радикс которой ‑ . Используя выражение для скорости частицы, получим:

Разгоняющее частицу напряжение задает сам экспериментатор, аналогично и величину индукции магнитного поля . Радиус окружности , по которой движется частица, измеряется в ходе эксперимента. По этим данным рассчитывается удельный заряд частиц.

Часто в области действия магнитного поля создают и дополнительное электрическое поле, так, чтобы его действие уравновешивало действие магнитного поля. Т.е. чтобы в этой области частица продолжала двигаться по прямолинейной траектории. В этом случае должно выполняться равенство силы Лоренца и электростатической силы со стороны дополнительного поля. Из этого условия мы определим, какова должна быть скорость частицы, чтобы при данных и , она двигалась прямолинейно:

Используя полученное ранее выражение для скорости частицы, получим формулу для расчета удельного заряда частицы:

Таким образом, при данных и , экспериментатор подбирает такое значение напряженности дополнительного поля, чтобы частица продолжала двигаться прямолинейно. Тогда по полученной формуле он рассчитывает ее удельный заряд.

Ускорение заряженных частиц

Для исследований строения атомных ядер их бомбардируют частицами, обладающими большой кинетической энергией, т.е. большой скоростью. Для этого частицы необходимо разогнать, и разгоняют их электрическим полем, т.к. магнитное поле не изменяет кинетической энергии частиц. Устройства, которые разгоняют заряженные частицы, называются ускорителями.

Одним из таких ускорителей является, уже упоминавшийся, генератор Ва-де-Граафа. В этом ускорителе используется свойство зарядов сосредотачиваться только на внешней поверхности проводника, о котором мы тоже упоминали. Схематическое устройство этого генератора показано на рис. 3.22. Имеется первичный генератор , который возбуждает постоянное напряжение до нескольких десятков киловольт. Заряд от этого генератора стекает через острие на бесконечную, движущуюся ленту . Эта лента, через специальные отверстия, проходит внутрь большого, полого, проводящего шара . Внутри шара, с помощью острия этот заряд снимается и передается шару. Мы уже знаем, что заряд при этом перейдет на внешнюю поверхность шара и равномерно распределится по ней. Очевидно, сколько бы мы не передавали зарядов шару изнутри, все они полностью перейдут на внешнюю поверхность. Поэтому шар может накопить очень большой заряд. Процесс накопление заряда ограничен тем, что при достижении напряженности поля у поверхности шара порядка происходит пробой воздуха, возникает электрический разряд, и заряд с шара уходит в землю. Напряженность поля у поверхности шара определяется формулой (1.11). Из этой формулы вытекает, что чем больше радиус сферы, тем меньше напряженность поля, т.е. тем меньше вероятность разряда. Поэтому шары делают большого диаметра, порядка .

С помощью генератора Ван-де-Граафа удается достичь напряжений порядка десяти миллионов вольт . При этом элементарная частица с зарядом, равным элементарному заряду (), получит энергию, равную:

Частицы с большими энергиями получают в так называемых циклотронах. В этих ускорителях используется, рассмотренная нами выше, независимость периода обращения частицы по окружности в магнитном поле от ее скорости.

Циклотрон представляет собой плоский пустотелый, металлический цилиндр, разрезанный по диаметру (см. рис. 3.23). Образовавшиеся половины раздвинуты на некоторое расстояние и образуют пустотелые электроды, называемые дуантами и подключенные к генератору переменного напряжения. Следовательно, между дуантами существуют электрическое поле переменного направления . Внутри пустотелых дуантов, как мы знаем, электрического поля нет. Эта система дуантов помещается в оболочку, из которой откачан воздух и, в свою очередь, помещается между полюсами мощного электромагнита (не показанного на рисунке). Электромагнит создает магнитное поле, вектор индукции которого перпендикулярен основаниям дуантов. В центр симметрии дуантов помещают какой-либо источник заряженных частиц, какой-либо радиоактивный изотоп.

Предположим, что заряженная частица, вылетевшая из препарата, попала в фазу, т.е. ускоряется электрическим полем между дуантами. Несколько разогнавшись, она попадает внутрь дуанта, где электрического поля нет, и частица двигается по инерции. Но здесь сказывается магнитное поле, которое поворачивает частицу на пол-оборота и она снова вылетает в пространство между дуантами. Но за время пол-оборота (полпериода) направление электрического поля поменялось на противоположное, так что частица снова ускоряется электрическим полем. Еще разогнавшись, она влетает в другой дуант. Там электрического поля нет, и частица снова двигается по инерции. Магнитное поле снова поворачивает частицу на пол-оборота, и она вылетает в междуантное пространство. Но на свои пол-оборота она потратила столько же времени, как и в прошлый раз (период вращения не зависит от скорости частицы). Следовательно, направление электрического поля уже успело поменяться на противоположное, и частица снова ускоряется. И далее процесс повторяется. Попав в синхронизм, частица уже не выйдет из него, и постоянно будет ускоряться электрическим полем между дуантами.

Таким путем удается разогнать частицы до энергий порядка .

Однако при дальнейшем повышении энергии частицы, ее скорость настолько возрастает, что начинает сказываться зависимость массы от скорости (см. (I.1.27)). При этом начинает изменяться период обращения частицы, и она выходит из синхронизма.

Поэтому для дальнейшего увеличения энергии частицы нужно либо синхронно изменять индукцию магнитного поля, либо синхронно частоту колебаний электрического поля (чтобы частица не вышла из синхронизма).

Самый мощный ускоритель 1976 года работал в лаборатории имени Ферми по Чикаго. Он ускорял протоны до , при этом их скорость была меньше скорости света всего на .

Лекция 10 (2 часа)

Дата добавления: 2014-01-04