Свободные затухающие колебания

Если в контуре активным сопротивлением пренебречь нельзя, то дифференциальное уравнения колебаний (9.2) имеет вид

.

Это уравнение можно привести к виду

, (9.10)

где . (9.11)

Решение уравнения (9.10) при условии , т.е. при , имеет вид

, (9.12)

где - заряд на пластинах конденсатора в момент времени t =0;

- зависимость амплитуды заряда на пластинах конденсатора от времени;

- частота затухающих колебаний.

Используя выражения (9.11), частоту затухающих колебаний можно записать в виде

. (9.13)

При R= 0 выражение (9.13) переходит в (9.4).

Разделив функцию (9.12) на емкость С, получим зависимость напряжения между пластинами конденсатора от времени

(9.14)

Сопоставляя формулы (9.12) и (9.14) можно сделать вывод, что заряд на пластинах и напряжение между ними изменяются по одинаковым законам.

Чтобы найти силу тока, продифференцируем (9.12) по времени:

.

Умножив правую часть этой формулы на равное единице выражение , получим

.

Введя угол , определяемый условиями

,

можно написать

. (9.15)

Поскольку , а , значение заключено в пределах от до . Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на (при R =0 опережение составляет ).

График функции (9.12) изображен на рис. 9.4. Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный вид.

Затухание колебаний принять характеризовать логарифмическим декрементом затухания

(9.16)

Здесь - амплитуда соответствующей величины (или ). Напомним, что логарифмический декремент затухания обратен числу колебаний , совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в раз:

.

Подставив в (9.16) значение для из (9.11) и заменив Т через , получим

Рис. 9.4 График зависимости заряда на пластинах конденсатора от времени при затухающих колебаниях.

(9.17)

Частота , а следовательно, и определяются параметрами контура и . Таким образом, логарифмический декремент затухания является характеристикой контура.

Колебательный контур часто характеризуют его добротностью Q, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания:

,

т.е. добротность контура величина, прямопропорциональная числу колебаний , в течение которых амплитуда уменьшается в раз.

Дата добавления: 2014-01-04