Функция Лагранжа простейших систем

Правило суммирования Эйнштейна.

Знак суммы не пишется при дважды встречающемся индексе.

,

тогда:

- для стационарных связей

- однородная функция своих переменных , у неё второй порядок, т.е.:

Соотношение Эйлера для однородной функции:

Рассмотрим системы с одной степенью свободы.

1. Плоский математический маятник (Рис.3).

- уравнение связи.

Число степеней свободы равно единице (см. §1).

- кинетическая энергия.

U – потенциальная энергия.

U=mgh, где h – уровень подъёма над положением равновесия.

Имеем:

Рассмотрим случай малых колебаний:

, φ – измеряется в радианах.

L – длина дуги, R – радиус окружности. Тогда:

Функция Лагранжа:

Уравнение движения:

Для решения дифференциального уравнения второго порядка необходимо два начальных условия:

1)

2)

2. Линейный гармонический осциллятор (Рис.4).

k – упругость пружины,

l₀ – длина пружины в недеформированном состоянии,

l – длина пружины в деформированном состоянии.

По закону Гука (для малых деформаций):

- малые деформации.

По второму закону Ньютона:

,

, , где .

Решение аналогично случаю 1. Начальные условия:

1)

2)

3. Аналогично для вертикального гармонического осциллятора (Рис.5)

(По закону Гука)

В данном случае: - не является результирующей силой, а лишь возвращающей систему к положению равновесия.

Дата добавления: 2014-01-04