Интегралы движения в методе Лагранжа. Динамические переменные в методе Лагранжа – это обобщённые координаты и обобщённые скорости

Динамические переменные в методе Лагранжа – это обобщённые координаты и обобщённые скорости. Всего их 2n, они задают начальное состояние систем.

Интеграл движения – это функция динамических переменных и времени , сохраняющая своё значение при движении системы (в КП).

- постоянство означает, что полная производная по времени должна быть равна нулю:

При n=1 имеем:

, .

[§8.] Свойства симметрии пространства и времени. Законы сохранения.

Рассмотрим замкнутую систему.

Замкнутая система материальных точек – это система точек, взаимодействующих между собой и не взаимодействующих с точками, не принадлежащими, данной системе.

1.Для замкнутой системы реализуется принцип однородности времени.

Это означает, что мы по временной оси начало отсчёта можем выбрать произвольно. Допустим, мы вели наблюдения в течение времени , этот отрезок времени можно на оси t взять в любом месте, процесс не изменится. Вследствие однородности времени для замкнутых систем функция Лагранжа явно не зависит от времени, т.е.

Найдём производную функции Лагранжа по времени:

Подставим второе уравнение в первое:

В силу уравнения движения Лагранжа:

Тогда:

- интеграл движения, но только для стационарных связей.

В случае многих степеней свободы:

В случае стационарных связей кинетическая энергия есть квадратичная форма скоростей.

- коэффициенты, имеющие не обязательно смысл массы.

В силу теоремы Эйлера об однородных функциях:

=const, т.е. реализуется скалярный закон сохранения энергии

Дата добавления: 2014-01-04