Волновое уравнение

(Электромагнитная волна. Волновое уравнение. Общее решение волнового уравнения. Плоская электромагнитная волна.)

Дифференциальное уравнение плоской электромагнитной волны

Чтобы не прибегать к сложным математическим выкладкам, рассмотрим электромагнитное поле в диэлектрической среде. Пусть это поле имеет следующие компоненты:

Т.е. электрическое поле имеет компоненты ‑ , магнитное поле имеет компоненты ‑ .

Т.к. среда ‑ диэлектрик, то токов проводимости нет ‑ . Кроме того, будем считать, что свойства среды не меняются с течением времени, т.е. .

В этом случае первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме будет иметь вид:

Операция ротора раскрывается как:

У электрического поля есть компонента только по оси . Поэтому уравнения Максвелла примет вид:

Отсюда вытекает ‑ . Магнитное поле однородно вдоль оси .

Таким образом, от этого уравнения Максвелла у нас осталось следующее уравнение:

Далее, рассмотрим второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

Аналогичным образом раскроем операцию ротора:

У магнитного поля есть только одна компонента по оси , поэтому:

Здесь мы тоже полагаем, что магнитные свойства среды не меняются с течением времени ‑ . Отсюда вытекает, что электрическое поле не меняется вдоль оси ‑ . Т.е. свойства электромагнитного поля не меняются в плоскости , поэтому такое поле называется плоским.

Таким образом, от второго уравнения Максвелла у нас осталось следующее уравнение:

Следовательно, для нахождения двух неизвестных компонент электромагнитного поля мы получили систему двух уравнений:

(А)

Уравнение плоской электромагнитной волны

Разрешим полученную систему, например, относительно компоненты электрического поля . Для этого первое уравнение системы (А) продифференцируем по координате , а второе ‑ по времени :

Отсюда, исключая , получим:

(В)

Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения компоненты вектора напряженности электрического поля.

Аналогичным же образом можно получить и второе уравнение для нахождения компоненты вектора напряженности магнитного поля:

(С)

Решение уравнений (В) и (C) имеет вид:

(D)

Т.е. мы видим, что решение представляет собой плоскую волну, распространяющуюся вдоль положительного направления оси .

Характеристики электромагнитной волны

В уравнении электромагнитной волны , волновое число в общем случае определяется как . Найдем выражение для волнового числа через параметры среды. Для этого найдем вторую производную от по пространственной координате :

Далее, вторую производную от по времени :

и подставим в исходное дифференциальное уравнение (B).

Упростим полученное выражение:

Получим теперь выражение для скорости распространения электромагнитной волны:

Или, окончательно:

(5.9)

Если диэлектрическая среда вакуум, то тогда и скорость света в вакууме будет равна:

(5.10)

Найдем теперь отношение . Это отношение имеет размерность , следовательно, это отношение будет характеризовать сопротивление диэлектрической среды прохождению электромагнитных волн, т.е. волновое сопротивление. Для этого используем найденную первую производную от по координате :

Найдем первую производную от напряженности магнитного поля по времени:

и подставим в первое уравнение системы (A):

Положим, что , тогда ‑

Подставив сюда выражение для волнового числа , получим:

Отсюда

(Е)

Для вакуума ‑ , поэтому волновое сопротивление вакуума будет равно:

Дата добавления: 2014-01-04