Дифракция света

(Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция Френеля. Метод зон Френеля. Дифракция света на круглом отверстии. Границы применимости геометрической оптики. Зонная и фазовая пластинки Френеля. Дифракция Фраунгофера от щели. Дифракционная решетка и ее применение. Пространственная дифракционная решетка. Формула Вульфа-Брэггов. Угловая и линейная дисперсия. Разрешающая способность. Критерий Рэлея. Голография)

Принцип Гюйгенса — Френеля

Дифракцией называется огибание волна­ми препятствий, встречающихся на их пу­ти, или в более широком смысле — любое отклонение распространения волн вблизи любых неоднородностей (препятствий) от законов геометрической оптики. Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через не­большие отверстия в экранах и т. д.

Различают два вида дифракции:

1. Дифракция в непараллельных лучах (дифракция Френеля), когда на препятствие падает сферическая (или плоская) волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, находящемся за ним на конечном расстоянии от препятствия.

2. Дифракция в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера), когда на препятствие падает плоская волна, а дифракционное изображение источника света наблюдается на экране, расположенном в фокальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прошедшего за препятствие света.

Явление дифракции объясняется с по­мощью принципа Гюйгенса, согласно которому каждая точка, до кото­рой доходит волна, служит центром вто­ричных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени.

Пусть плоская волна нормально пада­ет на отверстие в непрозрачном экране (рис. 3-1). Согласно Гюйгенсу, каждая точка во­лнового фронта служит источником вто­ричных волн (в однородной изотропной среде они сферические). Построив огиба­ющую вторичных волн видим, что волна огибает края отверстия, т. е. фронт волны заходит в область геометрической тени.

Принцип Гюйгенса решает за­дачу о направлении распространения во­лнового фронта, но не затрагивает вопро­са об амплитуде волн, распространяющихся по разным направлениям. Френель вло­жил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции вторичных волн.

Согласно принципу Гюйгенса - Фре­неля, световая волна, возбуждаемая ка­ким-либо источником S, может быть пред­ставлена как результат суперпозиции ко­герентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками. Такими источ­никами могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. В ка­честве этой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все фик­тивные источники действуют синфазно. Таким образом, волны, распространяющи­еся от источника, являются результатом интерференции всех когерентных вторич­ных волн.

Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае найти амплитуду (интенсивность) резуль­тирующей волны в любой точке простран­ства, т. е. определить закономерности распространения света.

3.2. Метод зон Френеля

Принцип Гюйгенса является чисто гео­метрическим способом построения волно­вых поверхностей. Он никак не связан с физической природой волн и применим как к упругим, так и к электромагнитным волнам в равной мере. Найдем в произвольной точке М ам­плитуду световой волны, распространяю­щейся в однородной среде из точечного источника S (рис. 3-2).

Согласно принци­пу Гюйгенса — Френеля, заменим дейст­вие источника S действием воображаемых источников, расположенных на вспомога­тельной поверхности Ф, являющейся по­верхностью фронта волны, идущей из источника S. Фре­нель разбил волновую поверхность Ф на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до М отлича­лись на l/2, т. е. Р₁М- Р₀М=Р₂М- Р₁М=Р₃М- Р₂М=...= l/2. Подобное разбиение фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точке М сферы радиусами b+l/2, b+2l/2, b+3l/2, ….

Так как колебания от сосед­них зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на l/2, то в точку М они приходят в противоположной фазе и при наложении будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М

A=А₁- А₂+ А₃- А₄+..., (3.1)

где А₁, А₂,... — амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й,... зонами.

Для оценки амплитуд колебаний най­дем площади зон Френеля. Пусть внешняя гра­ница m-й зоны выделяет на волновой по­верхности сферический сегмент высоты h_m (рис. 3-3). Если площадь этого сег­мента s_m, то площадь m-й зоны Френеля равна Ds_m = s_m - s_m-1, где s_m-1 — площадь сферического сегмен­та, выделяемого внешней границей (m-1)-й зоны. Из рисунка следует, что

(3-2)

Учитывая, что l<<а и l<<b, получим

(3-3)

Площадь сферического сегмента и площадь m-й зоны Френеля соответственно равны

(3-4)

Выражение (3-4) не зависит от номера зоны m; сле­довательно, при не слишком больших m площади зон Френеля одинаковы.

Согласно предположению Френеля, действие отдельных зон в точке М тем меньше, чем больше угол j_m (рис. 3-3) между нормалью n к поверхности зоны и направлением на М, т. е. действие зон постепенно убывает от центральной (око­ло Р₀) к периферическим (до нуля). Кроме того, интенсивность излучения в направле­нии точки М уменьшается с ростом номера зоны m и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М. Учитывая оба этих фак­тора, можем записать

А₁> А₂> А₃> А₄ ….

Общее число зон Френеля, умещаю­щихся на полусфере, очень велико; напри­мер, при а=b=10 см и l = 0,5 мкм оно равно

Так как число зон Френеля велико, то в качестве допустимого приближения можно счи­тать, что амплитуда колебания А_m от неко­торой m-й зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкаю­щих к ней зон, т. е.

. (3-5)

Тогда выражение (3-1) можно записать в виде

. (3-6)

так как выражения, стоящие в скобках, согласно (3-5), равны нулю, а оставша­яся часть от амплитуды последней зоны ±А_m/2 ничтожно мала.

Таким образом, амплитуда, создавае­мая в произвольной точке М сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной централь­ной зоной. Следовательно, действие всей волновой поверхности на точку М сводит­ся к действию ее малого участка, меньше­го центральной зоны.

Если в выражении (3-2) положим, что высота сегмента h_m<<а (при не слиш­ком больших m), тогда Под­ставив сюда значение (3-3), найдем ра­диус внешней границы m-й зоны Френеля:

(3-7)

При a=b=10 см и l=0,5 мкм радиус центральной зоны r₁= 0,158 мм. Следовательно, распростра­нение света к точке М происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, т. е. прямолинейно. Таким образом, принцип Гюйгенса — Френеля позволяет объяснить прямолинейное распростране­ние света.

Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально с использованием зонных пластинок — стеклянных пластинок, состоящих из прозрачных и не­прозрачных концентрических колец, по­строенных по принципу расположения зон Френеля, т. е. с радиусами r_m зон Френеля, определяемыми выражением (3-7) для заданных значений a, b и l (m = 0, 2, 4,... для прозрачных и m = 1, 3, 5,... для непрозрачных колец). Если поместить зон­ную пластинку на расстоянии а от то­чечного источника и на расстоянии b от точки наблюдения на линии, соединяющей эти две точки, то для света длиной волны l она перекроет четные зоны и оставит сво­бодными нечетные начиная с центральной. Результирующая ам­плитуда A=А₁+А₃+А₅+… должна быть больше, чем при полностью открытом фронте. На опыте зонная пластинка во много раз увеличивает ин­тенсивность света в точке М, действуя подобно собирающей линзе.

3.3. Дифракция Френеля на круглом отверстии

Сферическая волна, идущая из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием. Дифракционная картина наблюдается на экране (Э) в точке В, лежащей на линии, соединяющей источник S с центром отверстия. Экран параллелен плоскости отвер­стия и находится от него на расстоянии b (рис. 3-4). Разобьем открытую часть волновой по­верхности Ф на зоны Френеля. Вид диф­ракционной картины зависит от числа зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке В всеми зонами (см. (3-1) и (3-6)),

, (3-8)

где знак плюс соответствует нечетным m, а знак минус — четным.

Если отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда в точке В будет больше, чем при свободном распространении волны, если четное, то амплитуда бу­дет равна нулю. Если в отверстие уклады­вается одна зона Френеля, то в точке В амплитуда A=А₁, т. е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием. Интенсивность света больше соответственно в четыре ра­за. Если в отверстии укладываются две зоны Френеля, то из-за интерференции их действия в точке В практически уничтожат друг друга. Таким образом, дифрак­ционная картина от круглого отверстия вблизи точки S будет иметь вид чередую­щихся темных и светлых колец с центрами в точке В (если m четное, то в центре будет темное кольцо, если m нечетное — то светлое кольцо), а интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины. Если отверстие освещается бе­лым светом, то кольца будут окрашены.

Число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, зависит от его диаметра. Если он большой, то А_m<<А₁ и результирующая амплитуда А=А₁/2, т.е. такая же, как и при полностью открытом волновом фрон­те. При этом дифракционной картины нет — свет распространяется, как и в отсутствие круглого отверстия, прямо­линейно.

3.4. Дифракция Френеля на диске

Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути диск. Дифракционную картину наблюдаем на экране (Э) в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром диска. Закрытый диском участок фронта волны надо исклю­чить из рассмотрения и зоны Френеля строить начиная с краев диска (рис. 3-5). Пусть диск закрывает m зон Френеля. Амплитуда результирующего колебания в точке В равна

или

А=А_m+1/2, так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Следовательно, в точке В будет всегда наблюдаться интерференционный максимум (светлое пятно), соответствую­щий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум ок­ружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины.

С увеличением радиуса диска первая открытая зона Френеля удаляется от точ­ки В и увеличивается угол j_m (см. рис. 3-3) между нормалью к поверхности этой зоны и направлением на точку В. В ре­зультате интенсивность центрального мак­симума с увеличением размеров диска уменьшается. При больших размерах диска за ним наблюдается тень, вблизи границ которой имеет место слабая дифракционная картина. В данном случае дифракцией света можно пренебречь и считать свет распространяющимся пря­молинейно.

Отметим, что дифракция на круглом от­верстии и дифракция на диске впервые рассмотрены Френелем.

3.5. Дифракция Фраунгофера на одной щели

Немецкий физик И. Фраунгофер (1787— 1826) рассмотрел дифракцию плоских све­товых волн, или дифракцию в параллель­ных лучах. Дифракция Фраунгофера наблюдается в том случае, когда источник света и точка наблюдения бесконечно уда­лены от препятствия, вызвавшего диф­ракцию. Для этого достаточно точечный источник света поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину иссле­довать в фокальной плоскости второй со­бирающей линзы, установленной за препятствием.

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от бесконечно длинной щели (для этого практически достаточно, чтобы длина ще­ли была значительно больше ее ширины). Пусть плоская монохроматическая свето­вая волна падает нормально плоскости узкой щели шириной MN = а (рис. 3-6, а). Опти­ческая разность хода между крайними лучами МС и ND, идущими от щели в произвольном направлении j,

,

где F — основание перпендикуляра, опу­щенного из точки М на луч ND.

Разобьем часть волновой поверхности в плоскости щели MN на зоны Френеля в виде полос, параллель­ных ребру М щели. Ширина каждой зоны выбирается таким образом, чтобы разность хода от краев этих зон была равна l/2. На ширине щели тогда уместится зон. (3-8)

Если свет на щель падает нормально, то плоскость щели совпадает с фронтом волны и все точки фронта в плоскости щели будут колебаться в одной фазе. Амплитуды вторичных волн в плоскости щели будут равны, т.к. выбранные зоны Френеля будут иметь равные площади и одинаковый наклон к направлению наблюдения.

Как следует из (3-8), число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели, зависит от угла j и определяет ре­зультат наложения всех вторичных волн. При интерференции колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга, следова­тельно, если число зон Френеля четное, т.е. , то (3-9)

где m – натуральный ряд чисел, m = 1, 2, 3, ….

Таким образом в точке В наблюдается дифракционный минимум (полная темнота) первого, второго, третьего и т.д. порядков.

Если число зон Френеля нечетное, т.е. , то (3-10)

где m – натуральный ряд чисел, m = 0, 1, 2, 3, … и наблюдается дифракционный максимум нулевого, первого, второго, третьего и т.д. порядков, соответствующий действию одной некомпенсированной зоны Френеля.

В прямом направлении (j = 0) щель действует как одна зона Френеля, и свет распространя­ется с наибольшей интенсивностью, т. е. в точке В₀ наблюдается центральный дифракционный максимум.

Распределение ин­тенсивности (дифракционный спектр), получаемое из-за дифракции, приведено на рис. 3-6, б. Положение дифракционных максиму­мов зависит от длины волны l, поэтому такой вид дифракционная карти­на имеет лишь для монохроматического света. При освещении щели белым светом центральный максимум имеет вид белой полоски; он общий для всех длин волн (при j = 0 разность хода равна нулю для всех l).

Справа и слева от центрального видны максимумы пер­вого, второго и других порядков, причем ближе к центру дифракционной картины располагается фиолетовый край спектра (т.к. длина волны фиолетового света меньше длины волны красного света и в соответствие с формулой (3-10) угол отклонения фиолетовых линий меньше угла отклонения линий красного цвета для конкретного порядка.

3.6. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке

Одномерная дифракционная решетка — система параллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ши­рине непрозрачными промежутками. На рис. 3-7 для наглядности показаны только две соседние щели MN и CD. Ширина каждой щели а, а ширина не­прозрачных участков между щелями b, величина d = a + b называется постоянной дифракционной решетки (периодом). Щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях поэтому разности хода лучей, идущих от соседних щелей, будут для данного направления j одина­ковы в пределах всей дифракционной решетки:

. (3-11)

В точке В на экране в фокальной плоскости линзы соберутся лучи, которые до линзы были параллельны между собой и распространялись под углом j к направлению падающей волны.

Колебание в точке В является результатом интерференции вторичных волн, проходящих от разных щелей. Для того, чтобы в точке В наблюдался интерференционный максимум, разность хода Δ между волнами, испущенными соседними щелями, должна быть равна целому числу длин волн (четному числу полуволн):

(m=0, 1, 2, …). (3-12)

При разности хода, равной нечетному числу полуволн, в точке В будет наблюдаться интерференционный минимум:

(m=0, 1, 2, …). (3-13)

При пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме цен­трального (m = 0), разложатся в спектр, фиолетовая область которого будет обра­щена к центру дифракционной картины, красная — наружу. Это следует из формулы (3-12) в которой угол отклонения m – го максимума j ~ l. Это используется для иссле­дования спектрального состава света (оп­ределения длин волн и интенсивностей всех монохроматических компонентов), т. е. дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор. Распределение энергии по спектрам разных порядков показывает, что значительная часть энергии сосредоточе­на в спектре нулевого порядка (рис. 3-6, б) и по мере перехода к высшим порядкам энергия быстро убывает. Спектральные приборы, снабженные таки­ми дифракционными решетками, были бы мало светосильны. Устранить данный недостаток предложил английский физик Дж. У. Рэлей, а осуществил это предложение американский физик Р.У.Вуд. Было предложено ввести дополнительную разность хода в пре­делах каждого штриха решетки. С этой целью решетку гравируют так, что каждая борозда имеет определенный профиль, благодаря чему при отражении (или при прохождении) возникает добавочная раз­ность хода от одного края борозды до другого (рис. 3-8). Подбирая профиль борозды, удается сконцентрировать энергию в спектре того или иного порядка, ослабляя остальные, в том числе и самый яркий спектр нулевого порядка. Решетки подобного типа позволили сделать дифракционные спектрографы инструментом, превосходящим по све­тосиле обычные

призматические спектрографы.

Решетки, изображенные на рис. 3-8, представляют собой фазовые решетки, отдельные элементы которых отличаются не различием в отражающей или пропускающей способности, влияю­щей на амплитуду волны, а своей способностью изменять фазу волны. В данном случае изменение фазы происходит вследствие геометриче­ской формы пластинки, отражающей или пропускающей волну.

Мож­но воздействовать на фазу волны за счет различия в показателе преломления пропускающего слоя при его неизменной толщине; тако­го рода фазовые решетки удается создавать, вызывая в прозрачном теле ультраакустическую волну.

Фазовая отражательная решетка, использующая различие в изменении фазы при полном вну­треннем отражении от се­ребра и стекла показана на рис. 3-9. Для этого на гипотенузную грань стеклянной 90-градусной поворотной призмы были нанесены полоски серебра, которые разделены полосками стекла без серебрения. При падении света со стороны стекла интен­сивность света, отраженного от тех или иных полосок, практичес­ки одинакова (за счет полного внутреннего отражения), но возникает разли­чие в фазах, которое и приводит к обра­зованию дифракционной картины. Возможны, конечно, решетки амплитудно-фазовые, т.е. воздей­ствующие одновременно как на фазу, так и на ам­плитуду.

3.7. Дифракция на пространственной решетке

Дифракция света наблюдается не только на плоской одномерной решетке (штрихи нанесены перпендикулярно некоторой пря­мой линии), но и на двумерной решетке (штрихи нанесены во взаимно перпендику­лярных направлениях в одной и той же плоскости). Большой интерес представля­ет также дифракция на пространственных (трехмерных) решетках — пространствен­ных образованиях, в которых элементы структуры подобны по форме, имеют гео­метрически правильное и периодически по­вторяющееся расположение, а также по­стоянные (периоды) решеток, соизмери­мые с длиной волны электромагнитного Для наблюдения дифракционной картины необходимо, чтобы постоянная решетки была того же порядка, что и длина волны падающего излучения. Кристаллы, являясь трехмерными пространственными решетками, имеют постоянную порядка 10^{-10 м и непригодны для наблюдения дифракции в видимом свете (}l ~ 5 × 10^{-7 м). Не­мецкий физик М. Лауэ (1879—1960) пришёл к выводу, что в качес}тве естествен­ных дифракционных решеток для рентге­новского излучения можно использовать кристаллы, поскольку расстояние между атомами в кристаллах одного порядка с длиной волны l рентгеновского излучения (»10^-12 ¸10^-8 м).

Советский физик Г.В. Вульф и английские физики Г. и Л. Брэгг независимо друг от друга предложили простой метод расчета дифракции рентгеновского излучения от кристалличе­ской решетки. Они предположили, что происходит дифракция рентгеновских лучей при их отражении от системы па­раллельных кристаллографических плос­костей отстоящих друг от друга на расстоянии d (плоскостей, в которых лежат атомы кристаллической решетки). Монохроматический пучок параллель­ных рентгеновских лу­чей (1,2) падает под углом скольжения (между направлением падающих лу­чей и кристаллографической плоскостью) и возбуждает атомы кристаллической ре­шетки, которые становятся источниками когерентных вторичных волн 1' и 2', интер­ферирующих между собой, подобно вто­ричным волнам, от щелей дифракционной решетки (рис. 3-10).

Диф­ракционные максимумы наблюдаются в направлениях, в которых все волны, отра­женные атомными плоскостями, бу­дут находиться в одинаковой фазе. Эти направления удовлетворяют формуле Вульфа — Брэггов

(m=1, 2, 3,...), (3-14)

т. е. при разности хода между двумя лучами, отраженными от соседних кри­сталлографических плоскостей, кратной целому числу длин волн l, наблюдается дифракционный максимум. Если рентгеновское излучение падает на кристалл под углами скольжения отличными от угла , который удовлетворяет соотношению (3-14), то дифракция не воз­никает.

Формула Вульфа — Брэггов использу­ется при решении двух задач:

1. Наблюдая дифракцию рентгенов­ских лучей известной длины волны на кристаллической структуре неизвестного строения и измеряя и m, можно найти межплоскостное расстояние (d), т. е. оп­ределить структуру вещества (рентгеноструктурный анализ кристаллов).

2. Наблюдая дифракцию рентгенов­ских лучей неизвестной длины волны на кристаллической структуре при известном d и измеряя и m, можно найти длину волны падающего рентгеновского излуче­ния. Этот метод лежит в основе рентгенов­ской спектроскопии.

Дата добавления: 2014-01-04