Первообразная и неопределенный интеграл

Будем рассматривать задачу: дана функция , надо найти такую функцию , производная которой равна данной функции , то есть

=. (7.1.)

Это значит, что данная функция есть производная какой-то неизвестной функции и надо найти эту неизвестную функцию, называемую первообразной.

Определение 1. Функция называется первообразной данной функции на интервале (a,b) если в любой его точке выполняется равенство

=.

Пример 7.1.

Данная функция	cos x
Ее первообразная	sin x	ln x		tg x	arcsin x	arctg x

 

 

Если для данной функции существует первообразная, то она не единственная. В самом деле, для данной функции, например = cos x первообразными являются функции = sin x первообразными являются функции = sin x-2, = sin x +3, и т.д., вообще = sin x + С, где С– любое постоянное число.

Теорема. Любые две первообразные и данной функции отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину. По определению первообразной

 

 

 

или , но тогда или С = 0, что и доказывает теорему.

Определение 2. Если функция является первообразной для , то выражение +С, где С – постоянная, называется неопределенным интегралом функции и обозначается символом . Иначе говоря, неопределенный интеграл функции есть множество ее первообразных.

По определению,

=+С, 7.2.

где - символ интеграла, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение. Процесс нахождения неопределенного интеграла данной функции называется интегрированием этой функции.

Множеству первообразных соответствует семейство линий ,

называемых интегральными кривыми. Например, если данная функция есть , то множество ее первообразных или неопределенный интеграл выражается функциями , представляющими собой семейство парабол, получаемых сдвигом вдоль оси О_y параболы у=х².