Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной

Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу a и ординату b комплексного числа a + bi можно выразить через его модуль r и аргумент :

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой

которая носит название формулы Эйлера.

Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь .

Пример. Пусть . Напишите показательную форму числа .

Решение. Находим модуль и аргумент числа:

Следовательно, показательная форма комплексного числа такова:

Пример. Комплексное число записано в показательной форме

Найдите его алгебраическую форму.

Решение. По формуле Эйлера

Итак, алгебраическая форма числа: .

С помощью формулы Эйлера можно определить показательную функцию комплексного аргумента. Пусть .

Тогда

Например,

Изобразить на комплексной плоскости следующие числа и записать их в тригонометрической форме.

1) z = 1 + i

,

Þ

;

2)

,

Þ

Þ;

3) Þ

,

Þ

Þ

;

4),

;

5),

;

6),

то есть для z = 0 будет

, j не определен.

7)

8)

.

9)

Вычислить (1 + i)10.

Решение:

10)

, так как ;

, так как ;

или , так как и .

11)

1)

, k = 0, 1, 2

,

,

.

Ответ:

12)

1);

2);

3) .

13)

Пусть ,

.

Тогда ;

;

;

,

Содержание

№ заня-тия	Наименование разделов, тем, занятий	№ стр.
	Введение
	Раздел 1. Элементы линейной алгебры.
	Тема 1.1. Матрицы и определители.
2.	Определение матрицы, действия над матрицами, их свойства. Определение определителя, свойства определителей. Определение минора матрицы и алгебраического дополнения. Элементарные преобразования матриц, определение ступенчатой матрицы.	2-10
3.	Определение обратной матрицы. Определение ранга матрицы.	10-14
	Тема 1.2. Системы линейных уравнений
6.	Системы линейных уравнений.	14-21
	Раздел 2. Элементы аналитической геометрии
	Тема 2.1. Векторы. Операции над векторами
9.	Векторы. Операции над векторами. Скалярное произведение векторов, векторное произведение, смешанное произведение.	22-28
	Тема 2.2. Прямая на плоскости. Кривые второго порядка.
11.	Прямая на плоскости.	28-33
12.	Кривые второго порядка.	3-40
	Раздел 3. Основы математического анализа
	Тема 3.1. Теория пределов. Непрерывность
14.	Определение числовой последовательности. Монотонные ограниченные последовательности. Предел последовательности, свойства пределов.	40-43
15.	Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними.	43-45
16.	Предел суммы, произведения и частного двух последовательностей. Признак сходимости монотонной последовательности. Число е.	46-49
17.	Предел функции. Непрерывность элементарных и сложных функций.	49-55
18.	Точки разрыва, их классификация.	55-57
	Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
23.	Определение производной, ее геометрический смысл. Табличные производные, правила дифференцирования. Производная сложной функции.	57-60
24.	Определение дифференциала функции, его свойства. Определение производных и дифференциалов высших порядков.	61-66
25.	Определение экстремума функции, выпуклой функции.	66-71
26.	Определение точек перегиба, асимптот.	71-76
27.	Полное исследование функции.	76-78
	Тема 3.3. Интегральное исчисление функции
33.	Определение неопределенного интеграла, его свойства, табличные интегралы.	78-81
34.	Формулы интегрирования при помощи замены переменной для неопределенного интеграла. Формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла.	81-85
35.	Определение определенного интеграла, его свойства, формула Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определенного интеграла.	85-96
36.	Формулы интегрирования при помощи замены переменной для определенного интеграла. Формулы интегрирования по частям для определенного интеграла.	96-98
42.	Несобственные интегралы с бесконечным пределом интегрирования.	98-100
	Тема 3.4. Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных
44.	Функции нескольких переменных. Основные понятия. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.	100-102
45.	Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков.	102-105
	Тема 3.5. Интегральное исчисление функции нескольких переменных
50.	Определение двойного интеграла, его свойства. Определение повторного интеграла. Сведение двойных интегралов к повторным.	105-111
51.	Приложение двойных интегралов.	111-113
	Тема 3.6. Теория рядов
57.	Определение числового ряда, остатка ряда, свойства рядов. Признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши.	113-119
58.	Определение знакочередующихся рядов. Признак Лейбница. Определение абсолютной и условной сходимости произвольных числовых рядов.	119-121
59.	Определение функциональных последовательностей и рядов, определение степенного ряда, радиуса и области сходимости. Определение ряда Тейлора, ряда Фурье. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.	121-128
	Тема 3.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
64.	Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решение. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.	128-134
65.	Линейные однородные уравнения первого порядка. Линейные неоднородные уравнения первого порядка.	134-140
66.	Дифференциальные уравнения второго порядка. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение степеней.	140-146
	Раздел 4 Основы теории комплексных чисел
70.	Определение комплексного числа, геометрическое представление комплексных чисел.	146-148
71.	Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма комплексного числа. Тождество Эйлера.	149-150
72.	Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной.	150-155

Дата добавления: 2014-01-04