Точечное квадратичное аппроксимирование функций

Среднеквадратичное приближение функций

ЛЕКЦИЯ 15

Пусть на некотором множестве задана система функций φ₀(х), φ₁(х),…, φ_m(х)…, которые в дальнейшем будем считать достаточно гладкими (например, непрерывно дифференцируемыми). Назовем эту систему основной.

Функции вида

Q_m(x)= c₀ φ₀(х) + c₁ φ₁(х) +…+c_m φ_m(х) (1)

где с₀, с₁,…,с_m – постоянные коофициенты,

называются обобщенными полиномами (обобщенными многочленами) порядка m.

В частности, если φ_i(x) = xⁱ, то Q_m(x) = c₀ + c₁x +…+ c_mx^m – обычный полином системы m.

Если φ₀(х) = 1, φ₁(х) = cos x, φ₂(х) = sin x,…, φ_2m-1(х) = cos mx;

φ_{2 m}(х) = sin mx, …, то

Q_m(x) = a₀ + a₁ cos x + b₁sin x +…+ a_m cos mx + b_msin mx – тригонометрический полином порядка m.

Задача о приближении функций:

Данную функцию f(x) требуется заменить обобщенным полиномом Q_m(x) заданного порядка m строк, чтобы отклонение (в известном смысле) функции f(x) от обобщенного полинома Q_m(x) на указанном множестве х = {x} было наименьшим. При этом полином Q_m(x) в общем случае назывался аппроксимирующим.

Если множество х состоит из отдельных точек х₀, х₁,…, х_n, то приближение называется точечным.

Если х есть отрезок а ≤ x ≤ b, то приближение называется интегральным.

Для практики весьма важными является приближения функций обычными и тригонометрическими полиномами.

Различают следующие задачи теории приближений:

- интерполирования;

- среднеквадратическое приближение;

- равномерное приближение и т.д.

Если порядок m приближающего полинома Q_m(х) значительно меньше числа узлов n, то интерполирование невозможно. В этом случае используют точечный способ наименьших квадрантов. При этом за меру отклонения полинома берут:

Q_m(х) = a₀ + a₁x + … + a_mx^m (1)

от данной функции f(x) на множестве точек х₀, х₁,…, х_n принимают величину

(2)

Т. к. S_m = S_m (a₀, a_1, …, a_m),то задача сводиться к поиску коэффициентов a_i,

, минимизирующих S_m. Полученный полином называется аппроксимирующим, а процедура его построения – точечной квадратичной аппроксимацией.

Дата добавления: 2014-01-04