Линейная зависимость векторов. Базис и базисные решения

Теорема 3. Целевая функция задачи ЛП достигает своего максимального значения в угловой точке допустимой области. Если целевая функция принимает максимальное значение в более чем одной угловой точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся линейной комбинацией этих точек.

Замечание. Из теоремы 3 следует, что, если задача ЛП имеет неединственное решение, т.е. решения , то , где также является решением.

Определение 5. Вектор -мерного векторного пространства называется пропорциональным вектору , если существует такое число , при котором выполняется соотношение .

Нулевой вектор пропорционален любому вектору , .

Определение 6. Вектор называется линейной комбинацией векторов , если существуют числа , при которых выполняется соотношение:

. (10)

Определение 7. Система векторов , r ≥2, называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных, и линейно независимой – в противном случае. Или: система векторов , r ≥2, является линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю, при которых имеет место равенство: . Если такое соотношение возможно лишь в случае, когда все , то система векторов называется линейно независимой.

Пример 2. Показать, что следующие векторы линейно зависимы:

.

Составим линейную комбинацию вида (10):

или

Пример 3. Векторы - линейно независимы, поскольку

Определение 8. Максимальное число линейно независимых векторов в -мерном векторном пространстве равно .

Дата добавления: 2014-01-04