Предел функции

Понятие предела функции является обобщением понятия предела числовой последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции целочисленного аргумента .

Рассмотрим следующую функцию:

(4.9)

Рис. 4.4.

Если принимает только целые значения, то значения этой функции будут вести себя также как и последовательность.

При стремлении к бесконечности x значение функции будет все ближе и ближе подходить к единице, что видно из графика на рис.4.4. Это пример недостижимого предела.

Определение 4.8. Функция стремится к пределу при, если для каждого произвольного сколь угодно малого положительного числа можно указать такое положительное число N что для всех значений , удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство:

(4.10)

Этот предел функции обозначается или при .

Смысл определения состоит в том, что при достаточно больших по модулю значениях x значения функции f(x) как угодно мало отличаются от числа b (по абсолютной величине).

Геометрически число есть предел функции при , если для любого найдется такое число , что для всех , таких, что , соответствующие ординаты графика функции будут заключаться в полосе , какой бы ни была эта полоса (рис.4.5).

Приведенное выше определение предела функции при предполагает неограниченное возрастание переменной по абсолютной величине. В то же время можно сформулировать понятие предела при стремление к бесконечности определенного знака, т.е. при и при . В первом случае неравенство (4.10) должно выполняться для всех x таких, что , а во втором – для всех таких, что .

Определение 4.9. Число a называется пределом функции при стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколь угодно малого, числа , найдется такое число (зависящее от , ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию

(4.11)

выполняется неравенство:

(4.12)

Это определение называют определением предела функции по Коши. Смысл определения предела функции в точке состоит в том, что для всех значений достаточно близких к , значения функции как угодно мало отличаются от числа (по абсолютной величине).

Дата добавления: 2014-01-04