Плотность распределения вероятностей

Определение 8.6. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

Определение 8.7. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения:

(8.8)

Часто вместо термина «плотность распределения» используют термины «плотность вероятностей» и «дифференциальная функция».

Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины называется кривой распределения.

Из математического анализа известно, что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции . Запишем это приближенное равенство для функции .

или . Так как и , то

Это равенство означает, что вероятность попадания значения случайной величины X в интервал приближенно равна произведению плотности вероятности в точке x на длину интервала . Геометрически это есть площадь прямоугольника с основанием и высотой (рис.8.3). Величину называют элементом вероятности.

Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:

1. Плотность вероятности – неотрицательная функция, т.е. .

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервале равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от до , т.е.:

(8.9)

3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле:

(8.10)

4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице:

(8.11)

Контрольные вопросы

1. Понятие случайной величины. 2. Дискретная и непрерывная случайная величина. 3. Закон распределения случайной величины. 4. Способы задания закона распределения случайной величины. 5. Полигон распределения вероятностей. 6. Понятие функции распределения дискретной случайной величины . 7. Свойства функции . 8. Плотность распределения вероятности случайной величины . 9. Свойства плотности вероятности .

Дата добавления: 2014-01-04