Центр масс. Теорема о движении центра масс. Система центра масс

Если система замкнута, то ее полный импульс остается величиной постоянной.

В любой системе частиц имеется одна замечательная точка С- центр масс, - которая обладает рядом интересных и важных свойств.

Положение точки С относительно начала начала отсчета О данной системы отсчета характеризуется радиусом-вектором, определяемым следующей формулой:

(39)

где - масса и радиус-вектор каждой частицы системы, M - масса всей

системы (рис. 9).

Рис. 9 Определение центра масс системы частиц

.

Найдем скорость центра масс в данной системе отсчета. Продифференцировав (39) по времени, получим

(40)

Если скорость центра инерции равна нулю, то говорят, что система как целое покоится. Это вполне естественное обобщение понятия покоя отдельной частицы. Скорость же приобретает смысл скорости движения системы как целого.

Из формулы (40) следует, что

(41)

т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Получим уравнение движения центра масс

.Для этого продифферинцируем (41) по времени и учетем, что масса системы как таковой есть величина постоянная.

Получим

(42)

где - результирующая всех внешних сил, действующих на систему.

Это и есть уравнение движения центра масс системы - одно из важнейших уравнений механики.

При движении любой системы частиц ее центр масс движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние силы, действующие на систему.

Далее, из уравнения (42) следует, что если , то а значит, .

Таким образом, если центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, то это означает, что ее импульс сохраняется в процессе движения.

Уравнение (42). по форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его естественным обобщением на систему частиц: ускорение системы как целого пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально суммарной массе системы.

Систему отсчета, жестко связанную с центром масс и перемещающуюся поступательно по отношению к инерциальным системам отсчета, называют системой центра масс или Ц-системой.

Отличительной особенностью этой системы является то, что полный импульс системы частиц в ней всегда равен 0.

4.3 Работа. Мощность. Энергия.

4.4.

Пусть частица под действием силы совершает перемещение по некоторой траектории 1-2 (рис.10).

В общем случае сила в процессе

Рис. 10. Определение работы силы

движения частицы может изменяться как по модулю, так и по направлению. Рассмотрим, как показано на рис.10, элементарное перемещение , в пределах которого силу можно считать постоянной.

Действие силы на перемещении характеризуют величиной, равной скалярному произведению , которую называют элементарной работой силы на перемещении . Ее можно представить и в другом виде:

,

где - угол между векторами и - элементарный путь, проекция вектора на векторобозначена (рис.10).

Итак, элементарная работа силы на перемещении

.

(43)

Единицей измерения работы в системе СИ служит Джоуль, сокращенное обозначение Дж.

Суммируя (интегрируя) выражение (43) по всем элементарным участкам пути от точки 1 до точки 2, найдем работу силы на данном перемещении:

.

(44)

Для характеристики скорости совершения работы вводят понытие мощность.

Мощность, по определению, - это работа, совершаемая силой за единицу времени.

Если за промежуток времени сила совершает работу , то мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени, есть Учитывая, что , получим

.

(45)

Единица мощности в системе СИ - Ватт, сокращенное обозначение Вт.

Таким образом, мощность, развиваемая силой , равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения данной силы. Как и работа, мощность - величина алгебраическая.

Зная мощность силы , можно найти и работу, которую совершает эта сила за промежуток времени t.

. (46)

Кинетическая энергия.

Пусть частица массой m движется под действием некой силы F. Найдем элементарную работу которую совершает эта сила на элементарном перемещении dr:

(47)

Определяя всю работу, получаем:

(48)

Изменение кинетической энергии частицы на некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу.

4.4 Консерватвные и неконсервативные силы

Работа, которую совершают силы при перемещении частицы из точки 1 в точку 2, зависит, вообще говоря, от пути.

Однако среди стационарных силовых полей имеются такие, в которых эта работа не зависит от пути между точками 1 и 2.

Введем определение: стационарное силовое поле, в котором работа силы поля на пути между двумя любыми точками не зависит от формы пути, а зависит только от положения этих точек, называется потенциальным, а сами силы - консервативными.

Если это условие не выполняется, то силовое поле не является потенциальным, а силы поля называют неконсервативными. К числу таких сил принадлежит, например, сила трения, так как работа этой силы зависит в общем случае от пути.

Таким образом, равенство нулю работы сил пол на любом замкнутом пути есть необходимое и достаточное условие независимости работы от формы пути, и может считаться отличительным признаком любого потенциального поля сил.

Дата добавления: 2014-01-04