Решение задач по динамике колебаний

Пример 7.1.

Маятник представляет собой невесомый стержень, на котором закреплены два небольших одинаковых груза – один на расстоянии L₁ = 15 см, другой на расстоянии L₂ = 30 см от точки подвеса. Определить период колебаний маятника.

T =?

L₁ = 15 см, L₂ = 30 см

Решение.

Период колебаний физического маятника определяется формулой:

, (1)

где M – масса маятника, I – его момент инерции, L – расстояние от точки подвеса до центра масс маятника. Выразим величины, определяющие величину периода.

Пренебрегая массой стержня, получим, что M = 2m, момент инерции маятника, как аддитивная величина, равен:

.

Расстояние L найдем, используя определение центра масс:

. (2)

Подставляя найденные величины в (1), получим:

.

Численные вычисления дают Т» 1 с.

Пример 7.2.

Пружинный маятник, колеблющийся в жидкой среде, в течение 50 секунд потерял 0,6 своей начальной энергии. Определить коэффициент сопротивления, если масса маятника 5 г.

r =?

t = 50 c, m = 5 г = 5×10 ^–3 кг, DЕ = Е₀ – Е = 0,6Е₀, или E/E₀ = 0,4

Решение.

Колебания маятника в жидкой среде (с трением) описываются уравнением:

, где b = r/m. (2)

Полная энергия маятника пропорциональна квадрату амплитуды:

,

здесь k – коэффициент жесткости пружины.

Зависимость полной энергии маятника от времени имеет вид:

.

По условию Е=0,4Е₀. Тогда

.

Учитывая (2), имеем:

,

откуда

r»9,16×10 ^–5 кг×с ^–1.

Пример 7.3.

Груз массой m = 10 кг, подвешенный к концу пружины, движется в жидкости. Коэффициент жесткости пружины с = 10 Н/см. Сила сопротивления движению R пропорциональна первой степени скорости груза: R = bV, где b = 1,6 H с/см. Найти закон движения груза, если в начальный момент груз был смещен из положения статического равновесия вниз на 4 см, и ему была сообщена вниз начальная скорость V₀ = 4 см/с.

х = х(t)

F_ТР=rV, m=10 кг, k=10 Н/cм=10 ³ Н/м, r=1,6 Н/см=1,6×10³ Н/м,

х₀=4 см=4×10^–2 м, V₀=4 cм/с=4×10^–2 м/c.

Решение

Движение груза описывается уравнением (7.22)

, (1)

где , b=r/2m.

Подставив числовые значения, находим, что w₀=10 рад/с, b=8 рад/с; таким образом, b<w, и в задаче рассматривается случай малого сопротивления (см. (7.4)).

Закон движения груза имеет вид:

, (2)

частота колебаний равна .

Для определения постоянных А₀ и a воспользуемся начальными условиями:

, (3)

Выразим из (3) А₀ и подставим в (4). Имеем:

(5)

Формула (5) позволяет получить выражение для a:

.

Таким образом, искомое уравнение движения маятника имеет следующий вид:

.

Используя найденные ранее w₀=10 рад/с, b=8 рад/с и начальные значения х₀ и V₀ находим: a=0,59 рад и w=6 рад/с.

Итак, груз совершает затухающие колебания по закону:

×10^–2 м. (6)

Дата добавления: 2014-01-04