Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Общие правила составления двойственных задач


 

При составлении двойственных задач используют следующие правила.

Правило 1.Во всех ограничениях исходной задачи свободные члены должны находиться в правой части, а члены с неизвестными — в левой.

Правило 2.Ограничения-неравенства исходной задачи должны быть записаны так, чтобы знаки неравенств у них были направлены в одну сторону.

Правило 3. Если знаки неравенств в ограничениях исходной задачи «≤», то целевая функция F(X) =c0+ c1x1 + с2х2 + ... + спхп должна максимизироваться, а если « ≥», то минимизироваться.

Правило 4.Каждому ограничению исходной задачи соответствует неизвестное в двойственной задаче; при этом неизвестное, отвечающее ограничению-неравенству, должно удовлетворять условию неотрицательности, а неизвестное, отвечающее ограничению-равенству, может быть любого знака.

Правило 5.Целевая функция двойственной задачи имеет вид

Z(Y) = c0+ b1y1 + ... + bmym, где c0 ―свободный член целевой функции F(X) исходной задачи; b1, ..., bтсвободные члены в ограничениях исходной задачи, при этом bi ― свободный член именно того ограничения, которому соответствует неизвестная yi; y1, у2, ..., утнеизвестные в двойственной задаче.

Правило 6. Целевая функция Z(Y) двойственной задачи должна оптимизироваться противоположным по сравнению с F(X) образом, т.е. если F(X)max, то Z(Y)min, и если F(X) →min, то Z(Y)→ max.

Правило7. Каждому неизвестному xj, j= 1, 2, ..., п исходной задачи соответствует ограничение в двойственной задаче. Совокупность этих п ограничений (вместе с условиями неотрицательности неизвестных yi, соответствующих ограничениям-неравенствам исходной задачи) образует систему ограничений двойственной задачи. Все ограничения двойственной задачи имеют вид неравенств, свободные члены которых находятся в правых частях, а члены с неизвестными y1, y2, ..., ут — в левых. Все знаки неравенств имеют вид «≥», если Z(Y)→ min, и «≤», если Z(Y)→ max.

Коэффициенты, с которыми неизвестные y1, y2, ..., ут входят в ограничение, соответствующее неизвестному хj, совпадают с коэффициентами при этом неизвестном хj в ограничениях исходной задачи, а именно: коэффициент при yi совпадает с тем коэффициентом при хj, с которым хj входит в ограничение исходной задачи, соответствующее неизвестному уi.



Пример 1. Составить задачу, двойственную к данной

F(X) = х1 + 4х2 +3 х3min,

Решение. Умножим первое ограничение-неравенство на -1. Задача примет вид исходной задачи симметричной пары двойственных задач:

F(X) = х1 + 4х2 +3 х3min,

Умножим правые части ограничений на соответствующие переменные двойственной задачи и сложим их, получим целевую функции*

Z(Y) = -10у1 + 6у2 + 12у3→ max.

Функция Z(Y) максимизируется, так как целевая функций исходной задачи минимизируется.

Умножаем коэффициенты при х1 на соответствующие переменные двойственной задачи и складываем их: -1у1 + 2у2 +1у3. Данная сумма меньше или равна коэффициенту при х1 в целевой функции -1у1 + 2у2 +1у3≤1.

Неравенство имеет вид « ≤», потому что целевая функция двойственной задачи максимизируется. Аналогично составляются еще два ограничения двойственной задачи (соответствуют переменным х2, х3):

-1у1-1у2 + 2у3 ≤4,

-1у1+3у3 ≤3.

Все переменные двойственной задачи удовлетворяют условию неотрицательности, потому что все ограничения исходной задачи неравенства.

Окончательно двойственная задача имеет вид

Z(Y) = -10у1 + 6у2 + 12у3→ max,

Пример 2. Составить задачу, двойственную к данной

F(X) = х1 -х2 -2 х3+3 х4min,

Решение. Данная задача имеет вид исходной задачи второй несимметричной пары двойственных задач. Запишем двойственную задачу

Z(Y) = 7у1 + 10у2 → max,

Переменные у1, у2 могут не удовлетворять условию неотрицательности, так как они соответствуют ограничениям-равенствам исходной задачи.

Пример 3.Составить задачу, двойственную к данной

F(X) = 3 - 2х1 + х3min,

Решение. Используем общие правила составления двойственных задач. Умножим ограничения-неравенства на -1, так как в задаче на минимум они должны иметь вид «≥» (см. правило 3). Исходная задача запишется в виде

F(X) = 3 - 2х1 + х3min,

Составим двойственную задачу: Z(Y) =3 - 3у1 + 5у2 - 8у3 + 6у4 → max,

Неизвестная у4, соответствующая ограничению-равенству, может быть любого знака (см. правило 4).

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Виды математических моделей двойственных задач | Первая теорема двойственности

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 783; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.