Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Парная линейная регрессия. Метод наименьших квадратов


 

Пусть установлено наличие статистически значимой зависимости между физическими величинами и . Тогда эту зависимость можно аппроксимировать эмпирической формулой. Термин «аппроксимировать» имеет смысл «приближенно описать». Термины – «эмпирическая формула», «аппроксимирующая формула», «уравнение регрессии» имеют примерно одинаковое значение. Эмпирическая формула – это формула, полученная путем описания эмпирических (экспериментальных) данных.

Результаты экспериментов представляют в виде таблицы:

Независимая переменная (фактор)
Экспериментальные значения функции отклика

 

Здесь - объем выборки (число опытов), ; например, - продолжительность жизни человека (годы); - количество выкуриваемых в день сигарет (штук). Другой пример: - предел прочности металла (МПа); - температура нагрева металла ().

Выбор вида формулы для описания зависимости начинают с нанесения опытных значений и на график. Формула может быть линейной, квадратичной, степенной. Вид формулы подбирают по общему расположению опытных точек на графике. Пусть точки группируются около прямой линии. Тогда зависимость можно аппроксимировать линейным уравнением регрессии:

, (1)

где - расчетные (по уравнению (1)) значения, и - коэффициенты регрессии. Новое обозначение «» указывает, что формула (1) отображает с некоторой вероятностью экспериментальную зависимость (- исходные экспериментальные значения). Формула (1) является уравнением парной регрессии, так как зависит от одного фактора , т.е. рассматривается пара -.

Коэффициенты и неизвестны и определяются по парам экспериментальных значений с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Суть МНК: коэффициенты регрессии и определяют из условия, что

сумма квадратов отклонений () опытных значений от рассчитанных по

формуле (1) должна быть минимальной:

, (2)

где - остатки (отклонения; см. рис. 1). Здесь и далее

Рис. 1. Графическая иллюстрация МНК



 

Для вычисления и , минимизирующих , необходимо вычислить частные производные функции по аргументам и и приравнять их нулю:

; . (3)

Подставим в (3) из выражения (2) и вычислим производную по правилу дифференцируемой сложной функции:

(4)

Преобразуем (4):

(5)

Систему (5) принято называть системой нормальных уравнений. Решаем линейные системы уравнений (5) относительно неизвестных и методом определителей (метод Крамера):

; ,

где , , - определители;

;

Пример. Имеются экспериментальные данные.

№ п/п
 
 

 

; ; ; ;

;

;

;

;

.

.

Например: .

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Корреляция | Множественная линейная регрессия

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 203; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.006 сек.