Упорядоченная пара. Декартово произведение двух множеств

Рассмотрим задачу: используя цифры 1, 2, 3, образуйте все возможные двузначные числа.

Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования (числа 12 и 21 различны).

В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементах. В данном случае имеем дело с упорядоченной парой.

Упорядоченную пару, образованную из элементов а, b обозначают (а; b).

а – первая компонента пары, b – вторая компонента пары.

Определение. Пары (а; b) и (с; d) равны тогда и только тогда, когда а = с и b = d.

В школьном курсе математики мы встречались с упорядоченными парами при использовании прямоугольной системы координат, в которой каждая точка имеет координаты, представляющие собой пару чисел.

Задача. А = {1; 2}, В = {5; 6}. Составьте все возможные двузначные числа, число десятков которого принадлежит множеству А, а число единиц – множеству В.

Такими числами будут 15, 25, 16, 26.

В процессе решения этой задачи из двух данных множеств А и В образовано новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел (1; 5), (2; 5), (1; 6), (2; 6). Это новое множество называют декартовым произведением множеств А и В.

Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Записывают: А ´ В = {(а; b)½ а Î А, b Î В }

Пример. А = {1; 2}, В = {3; 4}. А ´ В = {(1; 3); (2; 3); (1; 4); (2; 4)}; В ´ А = {(3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2)}. А ´ В ¹ В ´ А, следовательно, декартово умножение не обладает свойством коммутативности.

Аналогично рассуждая, можно показать, что для этой операции не выполняется свойство ассоциативности.

Декартово произведение множеств есть множество, поэтому, как и всякое множество, его можно задать перечислением и указанием характеристического свойства.

Элементы декартова произведения удобно записывать при помощи таблицы:

В А
	(1; 2)	(1; 4)
	(2; 3)	(2; 4)

Каждый элемент множества А ´ В записывается в клетке, стоящей на пересечении соответствующей строки и столбца. Т.о. множество клеток этой таблицы представляет собой декартово произведение множеств А ´ В.

Декартово произведение множеств можно задать также

  у  

А

1 2 х

В

графом и графиком

§ 2. Соответствие между элементами множеств. Способы задания соответствий

Учащимся некоторого класса был задан вопрос, какие кружки они посещают. Их ответы были занесены в таблицу:

	Музыкальный	Рисования	Танцевальный	Выжигания
Артем
Борис
Виктор

Из таблицы видно, что Артем посещает 3 кружка, а Виктор только один; больше всего из опрошенных посещают кружок рисования и никто из них не посещает кружок выжигания…

В данном примере рассматриваются два множества: Х = {А; Б; В} – множество имен и Y = {м; р; т; в} – множество названий кружков.

При помощи слов «посещать какой-либо кружок» между элементами этих множеств установлена некоторая связь, или, как говорят в математике, соответствие. В таблице это соответствие выделено заштрихованными клетками, а множество всех клеток таблицы является декартовым произведением множеств Х и Y.

Соответствие между множествами Х и Y мы установили, имея 3 множества: множество Х – множество имен, множество Y – множество названий кружков и подмножество декартова произведения Х ´ Y.

Определение. Соответствием между множествами Х и Y называется любое подмножество R декартова произведения множеств Х и Y.

Множество Х называют множеством отправления соответствия, множество Y – множеством прибытия соответствия.

Если пара (х; у) Î R, то говорят, что элемент у соответствует элементу х; у является образом элемента х; х является прообразом элемента у.

Определение. Множество всех первых компонент пар, входящих в соответствие, называется областью определения соответствия.

Определение. Множество всех вторых компонент пар, входящих в соответствие, называется областью значений соответствия.

Т.к. соответствие – подмножество декартова произведения, то способы задания соответствий такие же, как и для декартова произведения.

Пример. Х = {2; 3; 5; 7}, Y = {6; 9; 15; 17}

R – «х – делитель у» – соответствие задано указанием характеристического свойства;

R = {(2; 6); (3; 6); (3; 9); (3; 15); (5; 15)} – соответствие задано перечислением. Также соответствие можно задать таблицей:

Х Y

у    

графом: графиком:

Х Y

2 3 5 7 х

В нашем примере элементу 3 соответствует три элемента множества Y – 6, 9 и 15. Множество, состоящее из чисел 6, 9 и 15, называют образом элемента 3.

В общем случае, образ элемента х из множества Х определяется как множество всех элементов у Î Y, соответствующих элементу х.

Число 6 соответствует двум элементам множества Х – числам 2 и 3. Множество, состоящее из чисел 2 и 3, называют полным прообразом элемента 6 из множества Х.

В общем виде: полный прообраз элемента у Î Y определяют как множество элементов х Î Х, таких что элементу х соответствует элемент у.

Определение. Множество всех элементов из множества Х, имеющих непустые образы, называется областью (множеством) определения соответствия R.

Определение. Множество всех элементов из множества Y, имеющих непустой полный прообраз, называется множеством значений соответствия R.

В нашем примере: {2; 3; 5} – множество определения; {6; 9; 15} – множество значений.

Понятие соответствия между множествами относится к числу фундаментальных понятий математики. Оно лежит в основе определения таких важнейших понятий математики, как функция и отображение. Кроме того, в любой науке изучаются не только сами объекты, но и связи между ними.

Дата добавления: 2014-01-04