Определение масс небесных тел

Классификация орбит в задаче двух тел

Введём постоянную = const (постоянная для данной орбиты), тогда выражение (4.25) можно записать как

. (4.26)

В зависимости от значения, которое принимает h получим следующую орбиту:

а) круговая орбита

,

; (4.26а)

б) эллиптическая орбита

, ;

в) параболическая орбита

h =0, ;

г) гиперболическая орбита

h >0, .

Рис. 4.8 Типы орбит

По круговым и эллиптическим орбитам движутся планеты, их спутники часть астероидов и периодические кометы. По параболическим и гиперболическим траекториям могут двигаться только непериодические кометы. На рис.4.8 приведён пример возможных траекторий движения тела m относительно центрального, находящегося в точке С, если начальная скорость направлена вдоль mb перпендикулярно mC. Если начальная скорость V₀ = V_C и будет направлена перпендикулярно к линии m_C, то точка m будет двигаться по кругу радиуса m_С. При V₀ > V_П тело движется по гиперболе, при V₀ = V_П ¾ по параболе и при V₀ < V_П ¾ по эллипсу. При этом может быть два типа эллиптического движения, для которых точка С ¾ ближний и дальний фокус от точки m. При дальнем фокусе орбита может быть получается незамкнутая, т.е тело m может упасть на М.

Из механики известно, что для точки, равномерно движущейся по кругу, центростремительное ускорение а_ц = w² R, где w — угловая скорость точки, равная w=2p/ Т (Т ¾ период обращения), а R — радиус круга. Принимая орбиту Луны за окружность с приближенным радиусом R = 384000 км, а период обращения Луны вокруг Земли равным примерно 27,3 средних суток (сидерический месяц), получим центростремительное ускорение орбитального движения Луны

.

Эта значение совпадает с величиной, полученной в разделе (4.6.1) по формулам, вытекающим из закона всемирного тяготения. Для Земли, движущейся вокруг Солнца получим, что её центростремительное ускорение равно а_ц= 0,59 см/сек² такое же значение получим из (4.20).

Приравняем центростремительное ускорение какого либо тела к ускорению силы притяжения от другого тела (4.20), движущимся по орбитам вокруг друг друга

. (4.27)

Такое же выражение можно записать и для второго тела

. (4.28)

Складывая уравнения (4.27) и (4.28), получим

, где r₁+r₂=r (4.29)

Преобразуем выражение (4.29)

. (4.30)

Это выражение справедливо для любых пар тел, например для планеты, обращающейся вокруг Солнца, или для спутника, обращающегося вокруг планеты. Следовательно выражение (4.30) можно записать для систем Солнце ¾ Земля и для Земля ¾ Луна:

, (4.31)

, (4.32)

где М_С ¾ масса Солнца, m _Å ¾ масса Земли, m _Å ¾ масса Луны, Т _Å ¾ период обращения Земли вокруг Солнца, Т _Л ¾ период обращения Луны вокруг Земли, r _Å ¾ астрономическая единица, а r_Л ¾ расстояние от Земли до Луны. Разделив уравнение (4.31) на уравнение (4.32), получим

. (4.33)

Из (4.33), зная массу Земли можно найти массу Солнца. Из закона всемирного тяготения для Земли

g =ƒ´ m _Å/ R ²; (4.34)

m _Å= g · R ²/ƒ (4.35)

По известным g, R и ƒ масса Земли будет

m _Å=5,976×10²⁷ г ≈6×10²⁷ г ·, а средняя плотность r ≈5,52 г/см ³ .

Учитывая, что m _Å многократно меньше М_С (в 333 000 раз), а m_Л меньше m _Å в 81,3 раза, то выражение (4.33) можно переписать как:

, (4.36)

Отсюда М_С можно найти из выражения

. (4.37)

Для любых двух пар притягивающих тел выражение (4.33) можно записать как

. (4.38)

Выражение (4.38) является точной формулой третьего закона Кеплера. Третий уточненный закон Кеплера позволяет определить массу планеты, если у нее есть хотя бы один спутник. В (4.38) массы m_2,4, как правило, пренебрегаемо малы по сравнению с массами m_1,3, следовательно, зная m₁ или m₃ можно вычислить вторую массу. Однако первоначально необходимо определить m какого либо тела в Солнечной системе, первоначально эта задача была решена для Земли.

Если у какого либо тела спутники отсутствуют, то его масса определяется другими методами, но на основе закона всемирного тяготения. Так массу Луны m_ƒ определили по «лунному неравенству» в долготе Cолнца с месячным периодом. Это следствие того, что центр масс Земля-Луна находится на расстоянии 4650 км от центра Земли в сторону Луны. По приливам определили, что отношение масс Луна-Земля равно

.

По наблюдениям астероидов и затем ИСЗ оно получено как . С этим значением M_¤=333000´m_Å, M_¤≈2·10³³ г.

Дата добавления: 2014-01-04