Алгебраические операции над нечеткими множествами

 

Алгебраическим произведением нечетких множеств и называется нечеткое множество, функция принадлежности которого определяется следующим образом:

(7.19)

Алгебраической суммойнечетких множеств и называется нечеткое множество, функция принадлежности которого определяется следующим образом:

(7.20)

Для операций выполняются свойства:

1. Коммутативный закон

(7.21)

2. Ассоциативный закон

(7.22)

3. Закон де Моргана

(7.23)

4. Операции с пустым множеством:

, (7.24)

5. Операции с универсумом:

(7.25)

 

Не выполняются следующие свойства:

1. Дистрибутивный закон

(7.26)

2. Закон идемпотентности

(7.27)

3. Закон исключенного третьего

(7.28)

 

На основе операции алгебраического произведения определяется операция возведения в степень нечеткого множества , где - положительное число. Нечеткое множество определяется функцией принадлежности:

(7.29)

Частным случаем возведения в степень являются операции концентрирования и растяжения, которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями. Наглядное представление этих операций представлено на рис 7.9.

 

Рис. 7. 9.

Умножением на число , где - положительное число такое, что , называется нечеткое множество с функцией принадлежности:

(7.30)

Пусть даны нечеткие множества универсального множества и неотрицательные числа , сумма которых равна 1. Выпуклой комбинацией нечетких множеств называется нечеткое множество с функцией принадлежности :

(7.31)

Декартовым произведением нечетких множеств , каждое из которых является подмножеством соответствующего универсального множества , называется нечеткое множество, являющееся подмножеством универсального множества , с функцией принадлежности:

(7.32)

Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.

Пусть - нечеткое множество, - универсальное множество и для всех определены нечеткие множества . Совокупность всех называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество A является нечеткое множество вида:

, (7.33)

где - произведение числа на нечеткое множество.