Графики основных элементарных функций

См. Кремер, стр. 129-131.

Представим ряд свойств основных элементарных функций в виде таблицы 1.

Таблица 1 – Свойства основных элементарных функций

Функция	Область определения	Область значений	Четность, нечетность	Монотонность	Период
I. Степенная функция
1. y = x^n, n Î N	]-¥; + ¥[	для нечетных n ]-¥; +¥[; для четных n [0; +¥[	для нечетных n нечетная; для четных n четная	для нечетных n возрастает на ]-¥; +¥[ (на всей области определения); для четных n убывает на ]-¥; 0], возрастает на [0; +¥[	-
2. y = x^-n, n Î N	]-¥; 0[È È]0; +¥[	для нечетных n ]-¥; 0[È È]0; +¥[; для четных n ]0; +¥[	для нечетных n убывает на ]-¥; 0[, возрастает на ]0; +¥[; для четных n возрастает на ]-¥; 0[, убывает на ]0; +¥[

3. , n Î N, n > 1	для нечетных n ]-¥; +¥[; для четных n [0; +¥[	для нечетных n ]-¥; +¥[; для четных n [0; +¥[	для нечетных n нечетная; для четных n общего вида	возрастает для нечетных n; для четных n на [0; +¥[ на всей области определения
II. Показательная (экспоненциальная) функция
4. y = a^x, a > 0, a ¹ 1	]-¥; + ¥[	]0; + ¥[	общего вида	для a > 1 возрастает, для a < 1 убывает на ]-¥; +¥[ (на всей области определения)	-
III. Логарифмическая функция
5. y = logax, a > 0, a ¹ 1	]0; + ¥[	]-¥; + ¥[	общего вида	для a > 1 возрастает, для a < 1 убывает на ]0; +¥[ (на всей области определения)	-

IV. Тригонометрические функции
6. y = cos x	]-¥; + ¥[	[-1; + 1]	четная	возрастает на [-p + 2pn; 2pn], убывает на [2pn; p + 2pn], n Î Z	2p
7. y = sin x	нечетная	возрастает на [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn], убывает на [p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn], n Î Z
8. y = tg x	]-p/2 + pn; p/2 + pn[, n Î Z	]-¥; + ¥[	возрастает на всей области определения	p
9. y = ctg x	]pn; p + pn[, n Î Z	убывает на всей области определения
V. Обратные тригонометрические функции
10. y = = arcsin x	[-1; 1]	[-p/2; p/2]	нечетная	возрастает на всей области определения	-
11. y = =arccos x	[0; p]	общего вида	убывает на всей области определения

12. y = = arctg x	]-¥; + ¥[	]-p/2; p/2[	нечетная	возрастает на всей области определения
13. y = = arcctg x	]0; p[	общего вида	убывает на всей области определения

Элементарные функции – это функции, которые могут быть получены из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) и конечного числа композиций функций.

Например, функция y = х² + lg sin х является элементарной, так как она получена путем сложения функций и образования сложной функции. Пример неэлементарной функции у= |х|.

[1] Вещественные, или действительные числа — математические объекты, введенные для представления и сравнения значений физических величин (такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой). Включают в себя рациональные и иррациональные числа. Иррациональное число — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть получено путем деления целого числа на натуральное (например, Ö2).

[2] То значение, которое не включают в интервал, часто обозначают по-другому, а именно, берут в круглую скобку, т.е. интервал записывают в виде (a; b). Недостатком такого обозначения является возможность неправильно понять запись (a; b), как координаты точки в двумерном пространстве. Поэтому здесь и далее концы интервалов и полуинтервалов будем брать в квадратные скобки, но те значения, которые в них не включаются, будем брать в скобки, повернутые наружу.

[3] Под термином "период" подразумевается наименьший положительный период функции, равный 2p; любой период функции
у = sin х равен 2pn, где n Î Z.

Дата добавления: 2014-01-04