Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Предел функции в бесконечности

Предел функции

Число А называется пределом функции y = f(х) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e, найдется такое положительное число S (зависящее от e, т.е. S = S(e)), что для всех х таких, что |х| > S, верно неравенство: |f(x) - А| < e.

Отметим, что отличие этого определения от определения предела последовательности состоит в том, что для последовательности переменная n принимала только натуральные значения, а здесь х принимает любые значения.

Предел функции в бесконечности обозначается или
f(x) ® А при x ® ¥.

Итак, .

Смысл определения состоит в том, что для достаточно больших по модулю значениях аргумента значения функции как угодно мало отличаются от числа А по абсолютной величине. Геометрический смысл определения можно пояснить рисунком 2.3.

Рисунок 2.3 – Геометрический смысл предела функции в бесконечности

 

Итак, число А есть предел функции у = f(x) при x ® ¥, если для любого e > 0 найдется такое число S > 0, что для всех х таких, что |х| > S, соответствующие ординаты графика функции f(x) будут заключены в e-окрестности точки А на оси ординат. При этом соответствующая часть графика будет находиться в полосе шириной 2e.

 

Понятие предела функции в бесконечности можно сформулировать и при стремлении х к бесконечности определенного знака. Отличие будет состоять в том, что аргумент функции неограниченно возрастает не по абсолютной величине, а x ® +¥ (тогда в определении вместо |х| > S будет стоять неравенство х > S) либо x ® -¥ (тогда в определении вместо |х| > S будет стоять неравенство х < -S).

 

Предел функции в точке

Число А называется пределом функции y = f(x) при х, стремящемся к х0 (или в точке х0), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e, найдется такое положительное число d (зависящее от e, т.е. d = d (e)), что для всех х ¹ х0 таких, что |х - х0| < d, верно неравенство: |f(x) - А| < e.

Предел функции в точке х0 обозначается или
f(x) ® А при x ® х0.

.

Смысл определения состоит в том, что для всех значений аргумента, достаточно близких к х0, значения функции как угодно мало отличаются от числа А по абсолютной величине. Геометрический смысл определения можно пояснить рисунком 2.4.

 
 
Рисунок 2.4 – Геометрический смысл предела функции в точке


Итак, число А есть предел функции у = f(x) при x ® х0, если для любого e > 0 найдется такая d-окрестность точки х0, что для всех х ¹ х0 из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции f(х) будут заключены в e-окрестности точки А на оси ординат. При этом соответствующая часть графика будет находиться в полосе шириной 2e.

 

Подчеркнем, что определение предела не требует существования функции в самой точке х0. Рассматривая предел, предполагают, что х стремится к х0, но не достигает этого значения. Поэтому наличие или отсутствие предела определяется поведением функции в окрестности точки х0, а не тем, определена или нет функция в самой этой точке.

 

Понятие предела функции в точке можно сформулировать и в смысле одностороннего предела. Отличие будет состоять в том, что аргумент функции принимает лишь значения x < x0 (тогда в определении вместо
|х - х0| < d рассматривается интервал х0 - d < x < х0, а предел называют пределом слева и обозначают ) либо лишь значения x > x0 (тогда в определении вместо |х - х0| < d рассматривается интервал х0 < x < х0 + d, а предел называют пределом справа и обозначают ).

Если, то , и наоборот (т.е. если в некоторой точке функция имеет пределы слева и справа, и они равны, то двусторонний предел тоже существует и равен тому же числу; и наоборот, - если существует двусторонний предел, то существуют и односторонние, равные ему же).

 

Условие, определяющее поведение аргумента, которое мы записывали под обозначением предела, будем называть базой предела и обозначать В в записи .

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Предел числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности {аn}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e | Бесконечно малые и большие величины
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1063; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.