Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем x₁ наблюдалось n₁ раз, x₂ – n₂ раз и т.д., а – объем выборки Наблюдаемые значения х _i, называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, – вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки – относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами или относительными частотами.

Пример. Пусть объем выборки п = 20 и

х i
n i

Найдем относительные частоты:

Тогда распределение относительных частот:

х i
W i	0,15	0,50	0,35

Контроль: 0,15 + 0,50 + 0,35 = 1.

После построения вариационного ряда и его графического изображения можно получить первоначальное представление о закономерностях наблюдаемого явления. Чаще всего о вариационном ряде удобно говорить в терминах, которые в теории вероятности назывались числовыми характеристиками случайных величин. Рассмотрим эти характеристики.

Если генеральная совокупность X относительно небольшого объема, то можно анализировать всю совокупность.

Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. Если все значения X ₁, X ₂,…, X _N различны (N – объем совокупности), то

.

Если же, что встречается чаще, значения признака имеют, соответственно, частоты N ₁, N ₂,…, N_k, причем N ₁ +N ₂ +... + N_k= N, то

/

Для оценки рассеивания количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения используется генеральная дисперсия D_Г – среднее арифметическое квадратов отклонений признака от их среднего значения . Для различных X ₁, X ₂,…, X _N:

Здесь – среднее квадратов значений признака:

Если же значения признака имеют частоты N ₁, N ₂,…, N_k, то

,

но ; .

Генеральным средним квадратическим отклонением (генеральным стандартом) называется .

Если же генеральная совокупность – большого объема, то работа с ней становится очень громоздкой или невозможной. Тогда для изучения генеральной совокупности используют выборку конечного объема п.

Выборочной средней называется среднее арифметическое признака выборочной совокупностью.

Для различных значений X ₁, X ₂,…, X _N:

.

Если значения признака X ₁, X ₂,…, X_k имеют, соответственно, частоты N ₁, N ₂,…, N_k, причем N ₁ + N ₂ +…+ N_k = N, то

Выборочной дисперсией D_В называется среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения . Для различных значений

.

Для значений X ₁, X ₂,…, X_k с частотами:

.

Выборочным средним квадратическим отклонением (выборочным стандартом) называется величина .

Вкачестве примера рассмотрим распределение:

х i
Ni

Здесь общая средняя:

Средняя квадратов:

Дисперсия: .

Стандарт: .

В примере намеренно не указан индекс характеристик, потому что расчеты как для генеральной, так и для выборочной совокупностей абсолютно аналогичны.

Кроме выборочных (или генеральных) средней и дисперсии используются и другие характеристики. Перечислим основные из них, например, для ряда

х i
ni

Модой M _O называют варианту, которая имеет наибольшую частоту. Для примера M _O = 7.

Медианой т_е называют варианту, которая делит вариационный ряд на две равные по числу вариант части. Для примера т_е =7.

Размахом вариации R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами:

R ⁼ X _max – X _min.

Для примера R = 11 – 1 = 10. Размах – простейшая характеристика рассеяния вариационного ряда.

Коэффициентом вариации V называется отношение выборочного стандарта к выборочной средней (обычно выражается в процентах):

Этот коэффициент служит для сравнения величин рассеивания по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов: тот из рядов имеет большее рассеяние, у которого коэффициент вариации больше.

По аналогии с теоретическими моментами в теории вероятностей вводятся эмпирические моменты для оценки вариационных рядов.

Обычным эмпирическим моментом порядка k называют среднее значение k-ых степеней разностей х_i – С:

.

Здесь x ₁, x ₂,…, x_t – наблюдаемые варианты, n ₁, n ₂,…, n_t- частоты вариант, n ₁ + n ₂ +…+ n_t = n – объем выборки, С – произвольное число (ложный нуль).

Начальным эмпирическим моментом порядка k называют обычный момент порядка k при С = 0:

В частности, , т.е. эмпирический момент первого порядка равен выборочной средней.

Центральным эмпирическим моментом порядка k называют обычный момент порядка k при С = :

/

В частности,

,

т.е. центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсии.

Центральные эмпирические моменты можно выразить через обычные. В практике статистических расчетов встречаются:

$

$

/

Дата добавления: 2014-01-04