Матрицы. Операции над матрицами

Определение 1. Прямоугольная таблица чисел вида

А = , (1.1)

состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размера . Числа называются ее элементами. Матрица размера называется матрицей-столбцом, размера - матрицей-строкой, размера - квадратной матрицей n-го порядка.

Таким образом, матрица-строка имеет вид , матрица-столбец , квадратная матрица n -го порядка . Элемент находится на пересечении i -ой строки и j -го столбца матрицы.

Определение 2. Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны: . Пишут: А = В.

Определение 3. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Единичной матрицей называется квадратная матрица вида , у которой Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей (=0, если ), а матрица вида - треугольной матрицей (= 0, если ). Прямоугольная матрица размера называется ступенчатой, если она имеет вид А = если .

Определение 4. Матрица называется транспонированной к матрице

, если она получена из матрицы А заменой ее столбцов строками с теми же

номерами, т.е. если .

Таким образом, транспонированная к матрице А размера матрица имеет вид

= и размер .

Определение 5. Суммой (разностью) двух матриц и размера называется матрица размера , элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В.

Определение 6. Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой равны произведению числа на соответствующие элементы матрицы А.

Пример 1. Пусть . Найдем матрицу .

Решение. По определениям 5 и 6 имеем .

Определение 7. Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , элементы которой вычисляются по формулам , .

Таким образом, элемент матрицы есть сумма произведений элементов i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В. Поэтому для существования произведения АВ число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. Ясно также, что из существования произведения АВ не следует существование произведения ВА.

Пример 2. Найдем произведение матрицы на матрицу .

Решение. Имеем .

Свойства операций над матрицами:

А + В = В + А, А + (В + С) = (А + В) + С,

,

А (ВС)=(АВ)С,

, ,

А (В+С)= АВ + АС, (В + С) А = ВА + СА.

§ 2. Определители матриц

Определение 1. Определителем квадратной матрицы А = 1-го порядка (определителем 1-го порядка) называется число, обозначаемое и равное . Определителем квадратной матрицы 2-го порядка (определителем 2-го порядка) называется число . Определителем квадратной матрицы 3-го порядка (определителем 3-го порядка) называется число .

При вычислении определителя 3-го порядка можно пользоваться правилом треугольника . Отмеченные произведения берутся со знаком «+». Одна сторона треугольника здесь параллельна главной диагонали определителя .

- здесь указана побочная диагональ и два треугольника, одна сторона которых параллельна этой диагонали. Соответствующие произведения берутся со знаком «».

Таким образом, определители 2-го и 3-го порядков являются алгебраическими суммами (т.е. суммами и разностями) всевозможных произведений элементов из каждой строки и каждого столбца определителя, причем из каждой строки и каждого столбца берется по одному элементу. Аналогичным образом можно ввести понятие определителя n -го порядка . Вопрос только в том, как его вычислить, какие произведения элементов брать со знаком «+», а какие со знаком «». Ответ на этот вопрос дается с помощью понятия перестановки натуральных чисел, которое выходит за рамки нашей программы. Поэтому вычислять определители любого порядка мы научимся позднее с помощью разложения определителя по элементам его строки или столбца.

Определение 2.Величина , равная произведению определителя (n – 1)-го порядка , полученного из определителя n -го порядка вычеркиванием i -ой строки и k -го столбца, на число , называется алгебраическим дополнением элемента .

Установим теперь свойства определителей.

Величина определителя:

а) не меняется, если у него заменить строки соответствующими столбцами.

Например,

.

б) меняет знак при перемене местами любых двух строк или любых двух столбцов. Например,

в) умножается на число k, если элементы какого-либо его столбца или строки умножить на k.

Например, .

Из этого свойства следует, что общий множитель, присутствующий в строке или столбце, можно выносить за знак определителя.

г) равна нулю, если элементы какого-либо его столбца или строки равны нулю.

Например, .

д) равна нулю, если элементы двух строк или столбцов соответственно равны. Например,

.

е) Разложение Лапласа: сумма произведений элементов некоторой строки или столбца определителя на алгебраические дополнения этих элементов равна величине определителя:

, .

Докажем это свойство для определителя третьего порядка в случае третьей строки. Имеем .

Pierre Simon Laplace (1749-1827) – последний из ведущих математиков 18 века. Сын скромного землевладельца в Нормандии. Легко менял свои политические привязанности, что позволяло ему продолжать свою математическую деятельность при всех политических изменениях во Франции. Основные труды: «Аналитическая теория вероятностей» и «Небесная механика» в 5 томах.

Пример 1. .

Пример 2. Если все элементы определителя , стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю, то .

Таким образом, определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

ж) Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю: .

Действительно, рассмотрим 1-ю сумму. Она не зависит от элементов j -ой строки (они вычеркнуты). Заменим в определителе элементы j -ой строки на соответствующие элементы i -ой строки. От этого рассматриваемая сумма не изменится. Между тем теперь ее можно рассматривать как разложение нового определителя по элементам j -ой строки, но тогда она равна величине нового определителя, который равен нулю на основании свойства д).

з) Пусть даны два определителя n -го порядка и , у которых все строки (столбцы) одинаковы, кроме одной строки (одного столбца). Сумма таких определителей равна определителю n -го порядка, у которого указанная строка (столбец) состоит из суммы соответствующих элементов этой строки (столбца) определителей и .

Например,

.

Действительно, разлагая данные определители по элементам n -го столбца, получим .

и) Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на число k.

(Иллюстрировать лучше на примере определителя 3-го порядка)

Например, = (см. свойства з) и в)) = (см. св - во д))==.

С помощью последнего свойства вычисление данного определителя может быть сведено к вычислению определителя более низкого порядка или к вычислению определителя треугольной матрицы.

Пример 3. = (к элементам 2-ой строки прибавим элементы 1-ой строки, умноженные на –2) = = (к элементам 3-ой строки прибавим элементы 1-ой строки, умноженные на –8) = = (см. пример 1) = (–5)(–39) – – (–9)(–31) = –84.

Пример 4. Вычислим определитель Вандермонда 4-го порядка (А.Т. Вандермонд (1735-1796) – французский математик).

Решение. Вычтем из элементов 2-ой, 3-ей и 4-ой строк соответствующие элементы 1-ой строки, получим . Вынесем за знак определителя общие множители 2-ой, 3-ей и 4-ой строк (свойство в)), затем вычтем из элементов 3-ей и 4-ой строк полученного определителя соответствующие элементы 2-ой строки: . Вынесем за знак определителя общие множители 3-ей и 4-ой строк, затем вычтем из элементов 4-ой строки полученного определителя соответствующие элементы 3-ой строки:

.

Получился определитель треугольного вида, величина которого равна произведению элементов главной диагонали (см. пример 2), т.е. . Поэтому .

Дата добавления: 2014-01-04