Размерность. Базис. Линейное подпространство

Поле. Линейное пространство.

Дадим сначала определение поля.

Определение 1. Полем называется множество элементов , в котором определены операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим условиям:

1. Для любых двух элементов однозначно определена сумма , причем:

а) (закон коммутативности для сложения);

б) (закон ассоциативности для сложения);

в) уравнение разрешимо для всех .

2. Для любых двух элементов однозначно определено произведение , причем:

а) (закон коммутативности для произведения);

б) (закон ассоциативности для произведения);

в) существует элемент , называемый единицей, такой, что для любого элемента ;

г) для любого элемента существует обратный элемент , т.е. такой элемент , что .

3. Для любых элементов (закон дистрибутивности).

Примерами полей являются множество рациональных чисел Q и множество действительных чисел R с обычными операциями сложения и умножения.

Введем теперь понятие линейного пространства. Пусть Р – некоторое поле.

Определение 2. Непустое множество L элементов называется линейным или векторным пространством над полем Р, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. Для любых двух элементов однозначно определен третий элемент , называемый их суммой и обозначаемый , причем

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность);

3) в L существует такой элемент , что для всех (существование нуля);

4) для каждого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента).

2. Для любого элемента и любого элемента определен элемент (произведение элемента х на элемент ), причем

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Примеры линейных пространств.

1. Прямая линия , т.е. совокупность действительных чисел с обычными арифметическими операциями сложения и умножения, представляет собой линейное пространство над полем действительных чисел.

Это очевидно.

2. Совокупность всевозможных систем n действительных чисел , где сложение и умножение на число определяется формулами

также является линейным пространством над полем действительных чисел. Оно называется действительным n-мерным арифметическим пространством и обозначается символом .

Условия определения 2 проверяются просто.

3. Совокупность М всех решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (3.5) – линейное пространство над полем действительных чисел.

Это очевидно для случая, когда система (3.5) имеет только тривиальное решение. Поэтому предположим, что она имеет нетривиальные решения. Проверим выполнение условий определения 2. Пусть , – произвольные решения однородной системы (3.5), т.е. . Тогда , так как , т.е. сумма любых двух решений системы (3.5) является решением этой системы. Свойства коммутативности и ассоциативности, очевидно, выполнены, так как , нулевым элементом является тривиальное решение , противоположным для элементом . Аналогично, для произвольного действительного числа имеем , так как , , т.е. произведение любого действительного числа на произвольное решение системы (3.5) является решением этой системы. Свойства ; ; и , где и – любые действительные числа, получаются из соответствующих свойств действительных чисел.

Таким образом, все условия определения 2 выполнены, поэтому М – линейное пространство над полем действительных чисел.

Далее будем рассматривать только линейные пространства над полем действительных чисел.

Определение 3. Элементы линейного пространства L называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не все равные 0, что

. (4.1)

Элементы называются линейно независимыми, если из равенства (4.1) вытекает, что .

Бесконечная система элементов пространства L называется линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима.

Определение 4. Если в пространстве L можно найти n линейно независимых элементов, а любые n + 1 элементов этого пространства линейно зависимы, то говорят, что пространство L имеет размерность n. Если же в L можно указать систему из произвольного конечного числа линейно независимых элементов, то говорят, что пространство L бесконечномерно. Базисом в n -мерном пространстве L называется любая система из n линейно независимых элементов.

Из определения 4 следует, что если – базис линейного пространства L и – произвольный элемент, то элементы х, линейно зависимы. Поэтому , где (в противном случае элементы были бы линейно зависимы, что противоречит условию). Отсюда получаем , т.е. любой элемент линейного пространства можно представить в виде линейной комбинации элементов его базиса.

В частности, линейное пространство М решений однородной системы (3.5), имеющей нетривиальные решения, тоже имеет базис и размерность. Любой базис совокупности М всех решений однородной системы (3.5) называется ее фундаментальной системой решений.

Пример 1. Решим однородную систему уравнений

(4.2)

Решение. Найдем ранг матрицы системы . Для этого преобразуем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Вычтем из элементов 2-й и 3-й строк элементы 1-й строки, получим . К элементам 3-й строки прибавим соответствующие элементы 2-й строки: . Отбросим 3-ю строку: . Получили ступенчатую матрицу, эквивалентную данной матрице системы А. Видим, что ранг матрицы системы равен 2. Поскольку расширенная матрица системы эквивалентна матрице системы, так как нулевой столбец свободных членов можно отбросить, то и ее ранг тоже равен 2. Число неизвестных больше ранга матрицы системы, поэтому система имеет бесконечно много решений. Найдем их. Из вида последней матрицы получаем, что система (4.2) эквивалентна системе Из 2-го уравнения получаем . Подставив найденное выражение вместо в 1-е уравнение, найдем : , отсюда . Таким образом, , , где принимают произвольные значения, т.е. можно положить , где – произвольные действительные числа. Тогда

, (4.3)

– общее решение однородной системы (4.2).

Ответ:.

Найдем фундаментальную систему решений однородной системы (4.2). Из (4.3) видим, что ее общее решение записано с помощью трех произвольных постоянных и . Это означает, что произвольное решение выражается через базис линейного пространства М решений однородной системы (4.2) с помощью трех коэффициентов , поэтому в базисе три решения . Найдем их. Поскольку , имеем

,

, . (4.4)

Сравнивая равенства (4.3) и (4.4), получаем , т.е. базисные решения или, что то же, фундаментальная система решений однородной системы (4.2) имеет вид

. (4.5)

Общее решение системы (4.2) записывается с помощью ее фундаментальной системы решений в виде .

Оказывается, что с помощью фундаментальной системы решений однородной СЛАУ можно находить и общее решение неоднородной СЛАУ. Именно, справедлива

Теорема. Если у – какое-то частное решение неоднородной СЛАУ (3.1), а – фундаментальная система решений соответствующей ей однородной СЛАУ (3.5), то общее решение системы (3.1) записывается в виде

,

где – произвольные действительные числа.

Без доказательства.

Заметим, что однородная СЛАУ (3.5) называется соответствующей неоднородной СЛАУ (3.1), если матрицы этих систем совпадают.

Пример 2. Решим неоднородную систему

(4.6)

Решение. Заметим, что однородной системой, соответствующей неоднородной системе (4.6), является система (4.2), фундаментальную систему решений которой мы уже знаем (см. (4.5)). Поэтому, согласно теореме, чтобы решить систему (4.6), нам нужно найти какое-то решение этой системы. Сначала выясним, имеет ли она решение. Для этого найдем ранг ее расширенной матрицы. Выполняя над расширенной матрицей системы те же элементарные преобразования, которые мы выполняли при решении примера 1 над матрицей А, получим

. Видим, что ранг расширенной матрицы системы (4.6) тоже равен 2, поэтому система имеет решение. А так как число неизвестных больше ранга матрицы системы, то решений бесконечно много. Найдем одно из них. Из вида последней матрицы заключаем, что система (4.6) эквивалентна системе Полагая в ней , из 2-го уравнения найдем , а тогда из 1-го уравнения . Таким образом, частное решение системы (4.6) имеет вид , а тогда, согласно теореме, общее решение этой системы записывается в виде +.

Ответ: .

Определение 5. Непустое подмножество линейного пространства L называется подпространством, если оно само образует линейное пространство по отношению к определенным в L операциям сложения и умножения на число.

Иначе говоря, есть подпространство, если из следует, что при любых и .

Во всяком линейном пространстве L имеется подпространство, состоящее из одного нуля – нулевое подпространство. С другой стороны, все L можно рассматривать как свое

подпространство.

Определение 6. Подпространство, отличное от L и содержащее хотя бы один ненулевой элемент, называется собственным.

Примеры собственных подпространств.

1. Пусть L – какое-либо линейное пространство и х – некоторый его ненулевой элемент. Совокупность элементов , где пробегает множество всех действительных чисел, образует одномерное подпространство. Оно является собственным, если размерность L больше 1.

2. Совокупность М всех решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (3.5), имеющей нетривиальное решение – собственное подпространство n- мерного арифметического пространства .

Дата добавления: 2014-01-04