Числовая последовательность и ее предел

Определение 1. Если каждому значению n из множества натуральных чисел ставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число , то множество занумерованных действительных чисел называется числовой последовательностью .

– члены последовательности, – сокращенная запись последовательности. Например, .

Определение 2. Пусть даны две последовательности и . Последовательности называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным последовательностей и .

Определение 3. Последовательность называется ограниченной, если множество ее членов ограничено, т.е. существует число , такое, что . Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М, такое, что .

Если последовательность неограниченна, то для любого числа найдется номер n такой, что . Ясно, что если последовательность ограничена только снизу или только сверху, то она неограниченна. Среди неограниченных последовательностей выберем бесконечно большие последовательности.

Определение 4. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого найдется номер N, такой, что для всех .

Всякая бесконечно большая последовательность неограниченна, но не всякая неограниченная последовательность бесконечно большая. Примером этого может служить последовательность .

Определение 5. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого найдется номер N, такой, что для всех .

Установим основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть и – бесконечно малые последовательности. Возьмем произвольно и положим . По определению 5 для найдутся номера и , такие, что для всех и для всех . Положим . Тогда для всех и по определению 5 последовательность бесконечно малая. Теорема доказана.

Аналогично доказываются

Теорема 2. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность (доказать самостоятельно).

Теорема 4. Всякая бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть – бесконечно малая последовательность. Положим . По определению 5 найдется номер N, такой, что для всех . Обозначим . Тогда для всех n. Теорема доказана.

Следствие теорем 3 и 4. Произведение двух (любого конечного числа) бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность (доказать самостоятельно).

Теорема 5. Если все члены бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу с, то .

Доказательство. Предположим противное, т.е. что . Возьмем . По определению 5 найдется номер N, такой, что для всех , т.е. для всех , а этого не может быть, так как для всех n. Противоречие доказывает утверждение теоремы.

Теорема 6. Если – бесконечно большая последовательность, то – бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Возьмем произвольно и положим . Тогда по определению 4 найдется номер N, такой, что для всех значений . Отсюда для всех , т.е. – бесконечно малая последовательность по определению 5. Теорема доказана.

Теорема 7. Если – бесконечно малая последовательность и все члены этой последовательности отличны от нуля, то последовательность – бесконечно большая (доказать самостоятельно).

Определение 6. Последовательность называется сходящейся к числу а, если последовательность является бесконечно малой. При этом число а называют пределом последовательности и пишут или при .

Из определения 6 следует, что любая бесконечно малая последовательность сходится к нулю, так как =, то есть . В частности, и, в силу свойств бесконечно малых последовательностей, для любых и .

Равносильные

Определение 7. Последовательность называется сходящейся к числу а, если для любого найдется номер N, такой, что для всех значений .

Из определения 7 получаем, что предел любой постоянной величины А равен этой постоянной величине, то есть , так как для любого для всех значений .

Определение 8. Последовательность называется сходящейся к числу а, если в любой -окрестности точки а находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Замечание. Из определения 6 следует, что если последовательность сходится к а, то , где – бесконечно малая последовательность, отсюда . Верно и обратное, т.е. если последовательность можно представить в виде суммы постоянной а и бесконечно малой последовательности, то последовательность сходится к числу а. Действительно, по определению 6.

Дата добавления: 2014-01-04