Детерминированные Стохастические

Стационарные Нестационарные

Сосредоточенные Распределённые

Рисунок 1.2. Классификация моделей объектов управления

по операторам их описания

При разработке детерминированных моделей предполагают, что основные факторы, характеризующие систему, вполне определённы и известны. Здесь в основном ставится задача оптимизации критерия эффективности функционирования системы (например, минимизация затрат). Следует учитывать, впрочем, что всякая практическая задача является многокритериальной.

Стохастические модели применяются в тех случаях, когда некоторые факторы носят неопределённый, случайный характер.

Для стационарных одномерных объектов оператор может быть задан в виде дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений первого порядка, передаточной функции объекта W(p).

В объектах с сосредоточенными параметрами динамические характеристики (переходные процессы) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, в которых в качестве независимой переменной принимается время.

Для математического описания динамики объектов с распределёнными параметрами применяются уравнения в частных производных, содержащие также производные по времени.

На практике, для значительного упрощения модели, объекты стремятся описывать линейными стационарными моделями, хотя в действительности все объекты в той или иной степени обладают свойствами нелинейности, нестационарности, распределённости, стохастичности.

Например, объект считается линейным в области малых изменений величин, входящих в уравнение (линеаризация объекта).

В ситуации учёта наличия конкурентов либо союзников с собственными интересами применяют теоретико – игровые модели.

Конечно, ни одна математическая модель не может охватить всех особенностей изучаемой системы. Опыт показывает, что построить модель (выписать стандартное уравнение) легко, трудно суметь передать суть изучаемого процесса.

РАЗДЕЛ 2.

ЭТАПЫ И ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКИМ МОДЕЛЯМ.

Рассмотрим этапы построения модели объекта для решении задач управления (рис. 2.2).

Рисунок 2.1. Схема решения задачи управления объектом

Модель представляется в виде функциональной зависимости между потерями, возможными управляющими воздействиями и выходными показателями качества объекта. Критерием выбора выходных координат может служить содержание в них информации, характеризующей степень достижения поставленной цели управления.

После формулировки целей управления необходимо выделить объект управления из среды, т.е. определить границы объекта и установить его взаимодействие со средой.

Основным этапом в построении адекватной модели является идентификация МО объекта. Под идентификацией понимают определение структуры и параметров математической модели, которые обеспечивают наилучшую близость значений выходных переменных модели и объекта в соответствии с заданным критерием управления при одних и тех же входных воздействиях.

В процедуре синтеза управления решается оптимизационная задача по выбранному критерию управления с учётом ограничений.

Проверка адекватности – это оценка достоверности построенной математической модели, исследование её соответствия изучаемому объекту.

Проверка адекватности осуществляется на тестовых экспериментах путём сравнения результатов расчёта по модели с результатами эксперимента на изучаемом объекте при одинаковых условиях, что позволяет установить границы применимости построенной модели.

При выборе или создании модели необходимо найти компромисс между точностью модели и её простотой. Конечно, ни одна математическая модель не может охватить всех особенностей изучаемой системы. Модель считается адекватной реальному процессу, если её погрешность не превышает 5 – 10 %, в отдельных случаях, когда требования к точности невысоки, погрешность может достигать 20 %.

На практике используют три варианта оценки адекватности модели реальному процессу (объекту):

1. Модель с заданной точностью соответствует реальному процессу.

2. Модель качественно правильно описывает характер поведения объекта и для соответствия требуется изменить (отладить) только её параметры.

3. Структура модели не может быть применена с заданной точностью.

Задача управления сложным объектом решается методом декомпозиции, когда используется ансамбль моделей, в котором каждая из них описывает отдельные стороны процесса. Такие модели реализуются как совокупность программ, имитирующих работу объекта и ориентированных на использование компьютерной техники.

Степень формализации управленческой задачи определяет метод поиска её решения – аналитический или метод чёрного ящика (экспериментальный).

Экспериментальный метод основан на обработке результатов наблюдений за входами и выходами объекта, рассматриваемого как “чёрный ящик”, т.е. без изучения его физической сущности.

Если детальное изучение объекта значительно затруднено или невозможно, то такой подход широко используется на практике, т.к. позволяет обойтись минимумом априорной информации об объекте при построении его модели.

Применяя соответствующие методы обработки результатов экспериментов, получают систему уравнений, описывающих поведение исследуемого объекта.

Основные недостатки метода чёрного ящика – неизвестна суть изучаемого процесса; невозможно отделить возмущения, действующие на объект, от полезного сигнала; поскольку полученные экспериментальные данные дают представление только о данном конкретном объекте, полученную модель невозможно применить к классу подобных объектов.

Аналитический метод основан на применении фундаментальных законов сохранения вещества и энергии. Аналитические методы основаны на всестороннем теоретическом анализе объекта (его конструкции, законах и процессов, происходящих в нём, об условиях функционирования и взаимодействия со средой).

Изучается объект или процесс с целью выявления связи между входными и выходными параметрами при определённых допущениях (упрощениях), не искажающих суть данного процесса. Связь между входными и выходными координатами формализуется аналитически. Наиболее достоверную математическую модель можно найти аналитическим путём. При аналитическом моделировании используют свойство изоморфности дифференциальных уравнений, которое отражает единство законов природы и позволяет описывать различные по своей физической природе процессы с применением однотипных дифференциальных уравнений.

Существует аналогия между процессами, различными по своей природе – электрическими, гидродинамическими, тепловыми и массообменными.

Перенос вещества (з. Фика): ;

Перенос теплоты (з. Фурье): ,

где dc/dx, dt/dx – градиенты соответственно концентрации и температуры; m, q – массовый и тепловой поток; D, λ – коэффициенты диффузии и теплопроводности.

Модели многих участков, входящих в состав сложных ОУ, формализованы. Для выбора стандартного математического описания участка необходимо определить и откорректировать численные значения коэффициентов модели, уточнить геометрические и физические особенности конструкции и рабочий режим.

Трудности применения аналитических методов возникают при описании реальных объектов, процессы в которых имеют сложный характер. Или аналитическое решение задачи может быть громоздким и нереализуемым на практике. Или при использовании аналитических методов в найденных уравнениях остаются неопределёнными отдельные коэффициенты.

Поэтому в подобных случаях аналитические методы дополняются экспериментальными исследованиями. Комбинированный метод наиболее часто используется на практике. Качественную структуру модели синтезируют аналитически, а параметры модели определяются на основе экспериментальных данных.

Аналитические методы позволяют составить математическое описание, отражающее сущность происходящих в объекте процессов, а эксперимент даёт возможность проверить адекватность (соответствие) полученной аналитической модели, определить численные значения коэффициентов модели. То есть обосновать предлагаемое математическое описание объекта.

Дата добавления: 2014-01-04