Закон сохранения энергии

Полная механическая энергия системы — энергия механического движения и взаимодействия: Е = К + W, т.е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

Закон сохранения энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем:

К + W = Е = сопst

Это — фундаментальный закон природы. Он является следствием однородности времени — инвариантности физических законов относительно выбора начала отсчета времени.

Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. В консервативных системах полная механическая энергия остается постоянной. Могут лишь происходить превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах, так что полная энергия остается неизменной.

Диссипативные системы — системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Однако при "исчезновении" механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда на исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии — сущность неуничтожимости материи и ее движения.

20.Соударения

Удар (соударение) — столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время.

Центральный удар — удар при котором тела до удара движутся по прямой, проходящей через их центры масс.

Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию. Выполняются законы сохранения импульса и сохранения механической энергии.

Обозначим скорости шаров массами т₁ и т₂ до удара через и , после удара — через и . Рассмотрим прямой центральный удар. Законы

сохранения:

,

Отсюда:

,

Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое тело.

, ;

При т₁ = т₂

Не выполняется закон сохранения механической энергии: вследствие деформации часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию тел (разогрев). Это уменьшение равно:

.

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (u₂ = 0), то:

Если т₂ >> т₁, то u << u₁ и D K» K₁

Механика твердого тела

21.Момент инерции.

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси:

Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс п материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к

, где интегрирование производится по объему тела.

Главный момент инерции — момент инерции относительно главной оси вращения проходящей через центр масс. Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему. Моменты инерции однородных тел массой т, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему:

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полный тонкостенный цилиндр радиуса R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиуса R	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длинной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:

Момент инерции тела J относительно произвольной оси z равен сумме момента его инерции J_с относительно параллель­ной оси, проходящей через центр масс С тела, и произведения массы т тела на квадрат расстояния а между осями:

J_z = J_C + ma²

Например, момент инерции прямого тонкого стержня длиной l относительно оси, которая перпендикулярна стержню и проходит через его конец (эта ось отстоит на l /2 от оси, проходящей через центр стержня):

Таким образом, величина момента инерции зависит от выбора оси вращения.

22.Кинетическая энергия вращения.

Абсолютно твердое тело вращается около неподвижной оси z проходящей через него. Все точки движутся с одинаковой угловой скоростью w = сопst. Кинетическая энергия тела:

где J₂ — момент инерции тела относительно оси z.

Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий:

Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательного и вращательного движений видно, что мерой инертности при вращательном движении служит момент инерции тела.

23.Момент силы.

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу :

= [ , ]

Модуль момента силы: М = Fr sin α = Fl, где l = r sin α — плечо силы — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О; α — угол между и .

Моментом силы относительно неподвижной оси z — называется скалярная величина М_z, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z. Значение момента не зависит от выбора положения точки О на оси z.

24.Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

При повороте тела под действием силы на бесконечно малый угол dj точка приложения силы А проходит путь ds = rdj и работа равна:

dА = F sin α rdj = М_z dj.

Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии:

dA = dK = d((J_z w²)/2) = J_zw dw

Тогда М_zdj = J_zw dw, или М_z ,откуда

уравнение динамики вращательного движения твердого тела:

M_z = J_z × b

Если ось вращения совпадает с главной осью инерции. проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство:

= J ×

где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

25.Момент импульса и закон его сохранения.

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

= [ , ]=[ ,т ]

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Значение момента импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая точка тела движется по окружности постоянного радиуса со скоростью , перпендикулярной радиусу. Момент импульса отдельной частицы равен L_iz = т_iu_i r_i и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта (совпадает с направлением вектора угловой скорости ).

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Продифференцируем по времени:

В векторной форме: — еще одна форма уравнениядинамики вращательного движения твердого тела.

В замкнутой системе момент внешних сил = 0, следовательно, и = 0.

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени:

= const

Это — фундаментальный закон природы. Он является следствием изотропности пространства: инвариантность физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.

При равномерном вращении твердого тела относительно некоторой оси z закон сохранения момента импульса = соnst равносилен: J_zw = const.

26.Сопоставим основные величины и соотношения для поступательного движения тела и для его вращения вокруг неподвижной оси.

Поступательное движение	Вращательное движение
Масса	т	Момент инерции	J
Перемещение	d	Угловое перемещение
Скорость	=	Угловая скорость
Ускорение		Угловое ускорение
Сила		Момент силы
Импульс		Момент импульса
Работа	dA = Fs ds	Работа	dA = Mz dj
Кинетическая энергия	mu^2/ 2	Кинетическая энергия	Jz w^2 / 2
Основное уравнение динамики	= m	Основное равнение динамики	= J ×
=	=

Деформации твердого тела

27.Деформации твердого тела

Реальные тела не являются абсолютно упругими.

Деформация — это изменение формы и размеров твердых тел под действием внешних сил.

Пластическая деформация — это деформация, которая сохраняется в теле после прекращения действия внешних сил. Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. Все виды деформаций (растяжение, сжатие, изгиб, кручение, сдвиг) могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения (или сжатия) и сдвига. Напряжение s — физическая величина, численно упругой силе , приходящейся на единицу площади dS сечения тела:

Если сила направлена по нормали к поверхности, то напряжение нормальное, если — по касательной, то напряжение тангенциальное.

Относительная деформация — количественная мера, характеризую­щая степень деформации и определяемая отношением абсолютной деформации D х к первоначальному значению величины х, характеризующей форму или размеры тела:

Так,

— относительное изменение длины l стержня (продольная деформация) e:

— относительное поперечное растяжение (сжатие) e ¢,

где и d — диаметр стержня. Деформации e и e' всегда имеют разные знаки:

e' = —me

где m — положительный коэффициент, зависящий от свойств материала и называемый коэффициентом Пуассона.

28.Закон Гука.

Для малых деформаций относительная деформация e пропорциональна напряжению s:

s = Ee

где Е — коэффициент пропорциональности (модуль упругости), численно равный напряжению, которое возникает при относительной деформации, равной единице.

Для случая одностороннего растяжения (сжатия) модуль упругости называется модулем Юнга.

Записав , получим — закон Гука:

удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе (здесь k: — коэффициент упругости).

Элементы механики жидкостей

29.Давление в жидкости и газе.

Свойства жидкостей и газов во многом отличаются. Молекулы газа, совершая хаотическое движение, равномерно заполняют весь предоставленный им объем. В жидкостях, в отличие от газов, среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным. Жидкость, сохраняя объем, принимает форму сосуда, в котором она заключена.

Однако в ряде случаев, когда жидкости и газы можно рассматривать как сплошную среду, их поведение описывается одинаковыми законами - законами гидроаэромеханики. Поэтому пользуются единым термином "жидкость".

В физике используется Физическая модель несжимаемой жидкости -жидкости, плотность которой всюду одинакова и не меняется со временем.

На каждый элемент поверхности D S тела, помещенного в жидкость, со стороны молекул жидкости действует сила D Р направленная перпендикулярно поверхности.

Давлением жидкости называется физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади:

Единица давления — паскаль (Па). 1Па равен давлению, создаваемому силой 1Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м² (1 Па = 1 Н/м²).

Давление при равновесии жидкостей или газов подчиняется закону Паскаля: Давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью.

При равновесии жидкости давление по горизонтали всегда одинаково, поэтому свободная поверхность жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок сосуда.

Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давления. Тогда при поперечном сечении S столба жидкости, его высоте h и плотности r вес Р = rgSh, а давление на нижнее основание изменяется линейно с высотой:

Давление rgh называется гидростатическим.

Сила давления на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость действует сила, определяемая законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость или газ, действует со стороны этой жидкости (газа) направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа):

F_А = rgV

где r — плотность жидкости, V — объем погруженного в жидкость тела.

30.Уравнение неразрывности.

Движение жидкости называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости - потоком.

Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в данный момент времени.

Линии тока проводятся так, чтобы густота их была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока.

Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим трубку тока, выбрав два сечения S₁ и S₂, перпендикулярные направлению скорости. За время D t через сечение S проходит объем жидкости Su D t. Если жидкость несжимаема, то через S ₂ за 1с пройдет такой же объем жидкости, что и через S ₁:

S ₁ u ₁ = S ₂ u ₂ или S u = const — уравнение неразрывности

Произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока.

Дата добавления: 2014-01-04