Расчет симметричных рам

Симметричными называются системы, расчетные схемы которых симметричны относительно некоторой оси.

Расчет любой симметричной рамы (рис. 8.1 а) можно упростить, если воспользоваться ее симметрией и разложить внешнюю нагрузку на симметричную (рис. 8.1 б) и кососимметричную (рис. 8.1 в) нагрузки.

Рис. 8.1

В этом случае, несмотря на то что раму приходится рассчитывать дважды, выбор основной системы, показанной на рис. 8.2 а дает значительный выигрыш в вычислениях.

Рис. 8.2

Канонические уравнения будут:

X₁+X₂+X₃+D_1P=0,

X₁+X₂+X₃+D_2P=0,

X₁+X₂+X₃+D_3P=0.

Во всех трех единичных состояниях построим эпюры моментов (рис. 8.2 б, в, г). Из них две эпюры (рис. 8.2 б, г) – симметричные, а одна (рис. 8.2 в) – кососимметричная. Симметричная (с) и кососимметричная (кс) эпюры взаимно-ортогональны и их “произведение” равно нулю:

Ä =0.

Поэтому некоторые коэффициенты системы канонических уравнений обращаются в нуль: ==0 и ==0, а система канонических уравнений распадается на две независимые системы:

Таким образом, при расчете симметричной рамы некоторые коэффициенты можно не вычислять, а решение большой системы канонических уравнений заменить решением двух систем уравнений значительно меньших размеров.

а) Расчет на симметричную нагрузку

Так как эпюра изгибающих моментов при действии симметричной нагрузки также является симметричной (рис. 8.2 д), она ортогональна кососимметричной эпюре . Следовательно, D_2P=0. Поэтому, как следует из уравнения (2), X₂=0. Таким образом, при симметричной нагрузке кососимметричная неизвестная равна нулю. В этом случае эпюра изгибающих моментов будет строиться по формуле

M=X₁+X₃+M.

Она, как сумма симметричных эпюр, будет симметричной. Тогда эпюра Q будет кососимметричной, а эпюра N будет симметричной.

б) Расчет на кососимметричную нагрузку

В этом случае эпюра изгибающих моментов кососимметрична (рис. 8.2 е) и ортогональна симметричным эпюрам и . Следовательно, D_1P=D_3P=0, и, как следует из системы уравнений (1), X₁=X₃=0. Таким образом, при кососимметричной нагрузке все симметричные неизвестные равны нулю. Поэтому эпюра изгибающих моментов строится по формуле

M=X₂+M.

Тогда она и эпюра N будут кососимметричными, а эпюра Q будет симметричной.

Окончательно будет .

Дата добавления: 2014-01-04