Малые колебания и свойства потенциальной энергии

Задачи

1. Определить скобки Пуассона, составленные из декартовых компонент импульса р и момента импульса материальной частицы.

Ответ: =-p_z

=0, =-p_y

2. Определить скобки Пуассона, составленные из компонент М.

Ответ: =-M_z, =-M_x, =-M_y.

3. Показать, что

=0, ,

где φ – любая скалярная функция координат и импульса частицы.

Указание. Скалярная функция может зависеть от компонент векторов r и p только в комбинациях r², p², . Поэтому

и аналогично для .

4. Показать, что

= fn,

где f – векторная функция координат и импульса частицы, а n – единичный вектор в направлении оси z.

Указание. Произвольный вектор f(r, p) может быть написан в виде где - скалярные функции

Рассмотрим систему с одной степенью свободы и исследуем функцию на экстремумы.

(отсюда получаем координаты точек равновесия для графика).

(21.1)

или ; ;

Итак: , т.к. , , , .

Отбросим в (21.1) слагаемые, начиная с третьего члена - получим параболический вид потенциальной энергии.

Если потенциальная энергия возрастает при удалении от положения равновесия, то в этом случае - точка устойчивого равновесия.

Рассмотрим точку

, - точка неустойчивого равновесия.

Колебания называются малыми, если в разложении последующие члены значительно меньше первых трёх:

Колебания, удовлетворяющие этому условию, называются линейными (гармоническими). Учёт последующих членов приводит к нелинейности или ангармоничности колебаний.

Дата добавления: 2014-01-04