Приближение линейного тока. 1.Определить напряженность электрического поля внутри и снаружи равномерно заряженного шара

Задачи

1. Определить напряженность электрического поля внутри и снаружи равномерно заряженного шара. Объемная плотность заряда равна , радиус шара R.

Решение. Из принципа суперпозиции полей следует, что искомая напряженность поля равна разности напряженности электрического поля, создаваемого шаром без полости, и напряженности поля зарядов, заполняющих при этом полость.

Поле внутри полости

поле внутри шара (но вне полости)

поле снаружи шара

где - радиус-вектор, проведенный из центра шара к центру полости.

2. Определить коэффициенты разложения потенциала точечного заряда в интеграл Фурье.

Решение. Потенциал точечного заряда является решением уравнения

(1)

Представим и в виде разложений в интеграл Фурье:

(2)

Подставляя соотношения (2) в уравнение (1) и приравнивая в подынтегральных выражениях коэффициенты при , получим

.

3. Найти потенциал, создаваемый зарядом, распределенным в бесконечной среде по закону:

Решение. .

4. Определить потенциал точечного заряда е, находящегося в однородной анизотропной среде с заданным тензором диэлектрической проницаемости.

Решение. Предположив, что заряд расположен в начале координат, решим уравнения

Направим оси декартовой системы координат по главным осям тензора диэлектрической проницаемости. Тогда

Подставим соотношения (2) в уравнение (1):

Заменой уравнение приводится к виду

Здесь использовано свойство δ-функции:

Решение уравнения (4) имеет вид

где

Что бы рассчитать надо брать от каждого элементарного объёмчика площадку и интегрировать по всему току. Если размеры сечения проводника много меньше его длины, либо когда точка наблюдения сильно удалена, то неоднородностью тока в сечении можно пренебречь. На языке интегралов это пренебрежение сводится к:

Это есть приближение линейного тока, т.е. ток течёт по проводнику, сечение которого стремится к нулю. Тогда для потенциала имеем:

Если имеется система токов, то формулу можно обобщить:

Дата добавления: 2014-01-04