Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Тензор спина, вектор угловой скорости, формула Пуассона





Описание ориентации с помощью тензора поворота. Теорема Эйлера о тензоре поворота.

Рис.4.8
 
X
Y
Z
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 

Ориентация тела задается тензором поворота , переводящим жестко связанную с телом тройку векторов из отсчетного положения в актуальное (рис.4.8)

 

 

Раскладывая по отсчетному базису, будем иметь

, где называются направляющими косинусами.

Теорема Эйлера. Произвольная ориентация твердого тела получается из отсчетной одним поворотом на угол вокруг оси поворота.

В математическом виде теорема сводится к следующей теореме:

Теорема о представлении тензора поворота.

Тензор поворота , не равный , единственным образом можно представить в виде

, (4.18)

где -угол поворота, а единичный вектор задает прямую в пространстве, называемую осью поворота; положительное направление отсчета угла поворота согласовано с направлением в соответствии с принятой ориентацией пространства, т.е. в правоориентированном пространстве положительный поворот с конца виден против часовой стрелки .

Доказательство.

Покажем, что существует единственный неподвижный вектор , т.е. уравнение

имеет единственное решение. Перепишем его в виде однородного уравнения , которое имеет решение, только если определитель равен нулю, что и следует из цепочки

 

Предполагая, что существуют два решения и , получим с помощью тождества #2 (1.13) , что означает, что и вектор также является неподвижным вектором, что невозможно ( ) .

Положим а в качестве и возьмем любые перпендикулярные к и между собой единичные векторы. Поскольку тензор поворота не изменяет углов между векторами, то векторы и лежат в плоскости и (см. рис.4.8). Имеем

.

Подставляя эти выражения в тензор и, заменяя диады, содержащие на независящие от их выбора выражения

, придем к (4.18): +( ) .



Можно доказать [3] , что тензор поворота аналитически выражается через произведение , называемым вектором поворота, поэтому в дальнейшем тензор поворота будем в необходимых случаях обозначать .

Представление (4.18) позволяет доказать весьма важную теорему:

Теорема. Если неподвижный вектор тензора ), определяющий ось поворота, сам получен поворотом , то . (4.19)

Иными словами: « тензор поворота с повернутой осью равен повернутому тензору»

Доказательство. Подставляя в (4.18) , получим

, , и, полагая в тождестве #4 (1.16)

.Таким образом,

 

,

или ч.т.д.

 

Дифференцируя по времени уравнение , получим

или, обозначив ,

, то есть тензор = , называемый тензором сп на - кососимметричный, поэтому он может быть записан в виде (1.10):

, где (4.20)

называется вектором угловой скорости. Вектор задает ось вращения.

Исходя из представления Эйлера (4.18) можно прямым вычислением из (4.20) получить

(4.21)

Из (4.21) видно, что ось поворота и ось вращения совпадают только когда ось поворота неподвижна ( , тогда .

Умножив равенство справа скалярно на , получим формулу Пуассона

. (4.22)

 





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 817; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.