Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Главные оси и главные моменты инерции


Зависимость тензора инерции от точки (обобщенная теорема Гюйгенса- Штейнера).

Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей.

Из определения тензора инерции , вычисляемого в актуальном положении твердого тела, ясно, что тензор инерции зависит от времени. Разложим вектор и единичный тензор по базису , жестко связанному с телом: .

Тогда тензор инерции примет вид , где координаты постоянные, a переменные и это повернутые вместе с телом постоянные векторы и в отсчетном ( например, при t=0) положении. Таким образом, это повернутый вместе с телом («вмороженный» в тело) постоянный тензор инерции

. (5.20)

Последнее предложение с помощью тензора поворота «переводится» в формулу

B
 
 
 
 
B
 
 
 
 
 
 
 
dm

.

Далее мы будем говорить о постоянном тензоре , координаты которого называются моментами инерции.

Из (5.20) ясно, что тензор инерции симметричный , т.е. .

Формально координаты тензора в ортонормированном базисе вычисляются с помощью скалярного умножения тензора слева на , а справа на :

. (5.21)

Из (5.20) имеем:

, (5.22)

где квадрат расстояния от элемента до «К»- ой оси,

(5.23)

Моменты инерции (5.22) называются осевыми, а (5.23) - центробежными.

Из (5.22) следуют своеобразные «правила треугольника»

 

Например, ,

причем ясно, что равенство возможно только в тех случаях, когда у всех точек тела координата ; например, если тело – бесконечно тонкий стержень или бесконечно тонкая пластина.

 
 
 
B ·
 
 
 
z
y
x
 
· C
dm
 
Для описания движения твердых тел необходимо вычислять тензор инерции относительно разных точек. Так, например, тело может вращаться вокруг различных неподвижных точек и, соответственно, осей. Чтобы избавиться от необходимости каждый раз вычислять интегралы (5.25), (5.26), найдем связь между центральным тензором инерции ,который является неотъемлемым, вычисленным или измеренным атрибутом тела, и тензором инерции в некоторой точке .

Подставляя в определение тензора выражения

,

получим

Все невыписанные слагаемые равны нулю, поскольку они содержат равный нулю множитель (постоянные вектор и тензор выносятся из интегралов). Таким образом, получили обобщенную теорему Гюйгенса- Штейнера



. (5.24)

Пусть - оси с началом в точке В и базисными векторами , а

параллельные им оси с началом в центре масс (центральные оси) c координатами .

Умножая (5.24) слева и справа скалярно на , получим формулу связи для осевых моментов инерции

или

(5.25)

где квадрат расстояния между осями X и .

Умножая (5.24) слева на и справа на , получим формулу связи для центробежных моментов инерции

или

. (5.26)

Разумеется, формулы (5.25) и (5.26) легко записываются и для других осей.

Заметим также, что поскольку осевые моменты инерции не зависят от положения точек на осях, часто в формулах (5.25) «имена» точек В и С опускаются.

Из (5.25) следует, что осевые моменты инерции минимальны, если оси центральные (вспомним о центре масс, как о точке, «ближайшей» ко всем точкам тела).

Начнем с определения:

Если для тензора второго ранга существует вектор такой, что , то число называется главным (собственным) значением тензора, собственным вектором, а ось, задаваемая главной осью тензора.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Зависимость кинетического момента от выбора опорной точки. Кинетический момент твердого тела. Тензор инерции | Эллипсоид инерции

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 314; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.003 сек.