КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Главные оси и главные моменты инерции
Зависимость тензора инерции от точки (обобщенная теорема Гюйгенса- Штейнера). Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. Из определения тензора инерции, вычисляемого в актуальном положении твердого тела, ясно, что тензор инерции зависит от времени. Разложим вектор и единичный тензор по базису, жестко связанному с телом:. Тогда тензор инерции примет вид, где координаты постоянные, a переменные и это повернутые вместе с телом постоянные векторы и в отсчетном (например, при t=0) положении. Таким образом, это повернутый вместе с телом («вмороженный» в тело) постоянный тензор инерции . (5.20) Последнее предложение с помощью тензора поворота «переводится» в формулу
. Далее мы будем говорить о постоянном тензоре, координаты которого называются моментами инерции. Из (5.20) ясно, что тензор инерции симметричный, т.е.. Формально координаты тензора в ортонормированном базисе вычисляются с помощью скалярного умножения тензора слева на, а справа на: . (5.21) Из (5.20) имеем: , (5.22) где квадрат расстояния от элемента до «К»- ой оси, (5.23) Моменты инерции (5.22) называются осевыми, а (5.23) - центробежными. Из (5.22) следуют своеобразные «правила треугольника»
Например,, причем ясно, что равенство возможно только в тех случаях, когда у всех точек тела координата; например, если тело – бесконечно тонкий стержень или бесконечно тонкая пластина.
Подставляя в определение тензора выражения , получим Все невыписанные слагаемые равны нулю, поскольку они содержат равный нулю множитель (постоянные вектор и тензор выносятся из интегралов). Таким образом, получили обобщенную теорему Гюйгенса- Штейнера . (5.24) Пусть - оси с началом в точке В и базисными векторами, а параллельные им оси с началом в центре масс (центральные оси) c координатами. Умножая (5.24) слева и справа скалярно на, получим формулу связи для осевых моментов инерции или (5.25) где квадрат расстояния между осями X и. Умножая (5.24) слева на и справа на, получим формулу связи для центробежных моментов инерции или . (5.26) Разумеется, формулы (5.25) и (5.26) легко записываются и для других осей. Заметим также, что поскольку осевые моменты инерции не зависят от положения точек на осях, часто в формулах (5.25) «имена» точек В и С опускаются. Из (5.25) следует, что осевые моменты инерции минимальны, если оси центральные (вспомним о центре масс, как о точке, «ближайшей» ко всем точкам тела). Начнем с определения: Если для тензора второго ранга существует вектор такой, что, то число называется главным (собственным) значением тензора, собственным вектором, а ось, задаваемая главной осью тензора.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 475; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |