Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Колебания системы с одной степенью свободы





Пример 4. Движение точки по качающейся поверхности.

 
 
 
 
 
 
 
 

По палубе раскачивающегося судна скользит материальная точка. Ориентация палубы задается углами крена j и дифферента q.Надо составить уравнения движения Лагранжа.

Ориентацию палубы проще всего описать тензором поворота ,

который переводит отсчетные в актуальные : . В матричном виде

P=

Угловая скорость , положение точки , скорость , . Слагаемое – переносная скорость, - относительная.

Запишем все величины в актуальном базисе :

 

 

 

 

 

Кинетическая энергия

,

мощность

= +

+ +

где – сила, с которой палуба действует на точку, а выражения в квадратных скобках - обобщенные силы.

Уравнения Лагранжа для координат имеют вид

(1)

(2)

Уравнения для и имеют вид

 

= (3)

(4)

Уравнения (1) , (2) и (4)- проекции уравнения на , а уравнение (3) является их следствием – это проекция закона (для точки – теоремы) об изменении кинетического момента на .

Задавая и , из (1) и (2) можем найти движение точки по палубе, а из уравнений для (или ) определим и реакцию S.

Строго говоря, постулирование и ) имеет физический смысл только при задании момента , приложенного к даже лишенной массе палубе.

Приложение: Тождества типа Лагранжа для вращательных движений и их применение для получения уравнений.

 

Первое тождество следует из формулы Пуассона :

Второе получим, приравнивая смешанные производные от тензора поворота

по координате и по времени t:

Умножим (для удобства) это равенство справа на ( = )

и с помощью тождеств и

получим .

Последние два слагаемых – кососимметрический тензор, представимый в виде

( , откуда и следует второе тождество ( 6.6)

 

С помощью этих тождеств покажем справедливость преобразования

.

для вращательной составляющей энергии .

С учетом симметричности тензора инерции и первого тождества имеем

.

Вычислим теперь .

Имеем

=

Теперь

и, с учетом второго тождества

 

 

 

Глава 7. Колебания систем

 

В этом мире колеблется все – колеблются атомы и молекулы, механизмы и сооружения.

Аналитическому исследованию поддаются, как правило, только малые колебания, под которыми мы будем понимать движения, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, даже если движение и не носит колебательного характера.

Все реальные тела ввиду их деформируемости обладают бесконечным числом степеней свободы, однако в качестве расчетной схемы можно выбрать систему с одной или несколькими степенями свободы.



Так, например, плоское движение маятника может быть описано только углом поворота, если пренебречь его деформацией, а вращение диска на упругом вале также задается одним углом поворота, если пренебречь массой вала по сравнению с диском.

 
 
x
x
mg
F

Наглядной моделью тела с одной степенью свободы, с помощью которой изучаются колебания, является грузик на пружине жесткости , на который действую сила тяжести , возмущающая сила , сила упругости и пропорциональная скорости сила так называемого вязкого трения , которая моделируется демпфером.

Координату удобно отсчитывать из положения статического равновесия, в котором упругий элемент (пружина) уже имеет деформацию . Для безошибочного составления уравнений движения в качестве актуального следует взять состояние, при котором тело смещено в положительном направлении и имеет положительную же скорость .

Запишем уравнение первого фундаментального закона (второго закона Ньютона) в проекции на ось Х:

.

В положении равновесия имеем и уравнение принимает вид

.

Наконец, разделив на массу, получим каноническую запись

, (1)

где обозначено .





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 164; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.003 сек.