Колебания системы с одной степенью свободы

Пример 4. Движение точки по качающейся поверхности.

По палубе раскачивающегося судна скользит материальная точка. Ориентация палубы задается углами крена j и дифферента q. Надо составить уравнения движения Лагранжа.

Ориентацию палубы проще всего описать тензором поворота,

который переводит отсчетные в актуальные:. В матричном виде

P=

Угловая скорость, положение точки, скорость,. Слагаемое – переносная скорость, - относительная.

Запишем все величины в актуальном базисе:

Кинетическая энергия

,

мощность

= +

+ +

где – сила, с которой палуба действует на точку, а выражения в квадратных скобках - обобщенные силы.

Уравнения Лагранжа для координат имеют вид

(1)

(2)

Уравнения для и имеют вид

= (3)

(4)

Уравнения (1), (2) и (4)- проекции уравнения на, а уравнение (3) является их следствием – это проекция закона (для точки – теоремы) об изменении кинетического момента на.

Задавая и, из (1) и (2) можем найти движение точки по палубе, а из уравнений для (или) определим и реакцию S.

Строго говоря, постулирование и) имеет физический смысл только при задании момента, приложенного к даже лишенной массе палубе.

Приложение: Тождества типа Лагранжа для вращательных движений и их применение для получения уравнений.

Первое тождество следует из формулы Пуассона:

Второе получим, приравнивая смешанные производные от тензора поворота

по координате и по времени t:

⇒ ⇒

Умножим (для удобства) это равенство справа на (=)

и с помощью тождеств и

получим.

Последние два слагаемых – кососимметрический тензор, представимый в виде

(, откуда и следует второе тождество (6.6)

С помощью этих тождеств покажем справедливость преобразования

.

для вращательной составляющей энергии.

С учетом симметричности тензора инерции и первого тождества имеем

.

Вычислим теперь.

Имеем

=

Теперь

и, с учетом второго тождества

Глава 7. Колебания систем

В этом мире колеблется все – колеблются атомы и молекулы, механизмы и сооружения.

Аналитическому исследованию поддаются, как правило, только малые колебания, под которыми мы будем понимать движения, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, даже если движение и не носит колебательного характера.

Все реальные тела ввиду их деформируемости обладают бесконечным числом степеней свободы, однако в качестве расчетной схемы можно выбрать систему с одной или несколькими степенями свободы.

Так, например, плоское движение маятника может быть описано только углом поворота, если пренебречь его деформацией, а вращение диска на упругом вале также задается одним углом поворота, если пренебречь массой вала по сравнению с диском.

x

x

mg

F

Наглядной моделью тела с одной степенью свободы, с помощью которой изучаются колебания, является грузик на пружине жесткости, на который действую сила тяжести, возмущающая сила, сила упругости и пропорциональная скорости сила так называемого вязкого трения, которая моделируется демпфером.

Координату удобно отсчитывать из положения статического равновесия, в котором упругий элемент (пружина) уже имеет деформацию. Для безошибочного составления уравнений движения в качестве актуального следует взять состояние, при котором тело смещено в положительном направлении и имеет положительную же скорость.

Запишем уравнение первого фундаментального закона (второго закона Ньютона) в проекции на ось Х:

.

В положении равновесия имеем и уравнение принимает вид

.

Наконец, разделив на массу, получим каноническую запись

, (1)

где обозначено.

Дата добавления: 2014-01-04