Спектральная плотность стационарного случайного процесса

Спектральные плотности реализации.

Спектральное представление стационарных случайных процессов.

Корреляционная теория случайных процессов.

Лекция №15

Рассмотрим стационарный случайный процесс X(t), с первым математическим ожиданием Саму функцию модно найти с помощью обратного преобразования Фурье:

(1)

Свойства случайной спектральной.

Усредним значения сигналов по ансамблю реализации:

(2)

Т.к. сигнал вещественный, то

(3)

И

Во внутреннем подынтегральном выражении содержится множитель, который имеет смысл функции корреляции случайной спектральной плотности, чтобы не зависело от t необходимо: (5) такой вид корреляционной связи называется – дельта- коррелированностью.

Введём функцию - спектральной плотности мощности процесса (спектр мощности).

(6).

Подставив (6) в (4) получаем:

(7). Или (8).

Формула (7) и (8) составляют содержание теоремы Винера – Хинчина. Если и поскольку , получаем:

(9)

Дисперсия равная средней мощности функций спектрального случайного процесса, есть сумма вкладов от всех участков частотной оси.

Односторонний спектр мощности.

Т.к чётная функция соответствующий спектральной мощности четная функция частоты

(10)

(11)

Введём односторонний спектр мощности:

(12)

Функция позволяет вычислить дисперсию стационарного случайного процесса, причём интегрированная по положительным частотам:

(13).

В технических расчётах вводят односторонний спектр мощности N (f) – представляющий собой среднюю мощность случайного процесса, приходящегося на интервал частот шириной в 1кГц.

при этом легко видеть:

(14)

3.Интервал корреляции.

Случайные процессы в радиотехнике обладают следующими свойствами: их функция корреляции стремится к нулю, с увеличением временного сдвига числовой характеристикой для скорости изменения реализации случайного процесса является интервал корреляции.

(15)

Эффективная ширина спектра.

Рассмотрим выражение:

(16)

Где односторонний спектр мощности,

экстремальное значение этой функции на интервале

(17)

Этой величиной часто пользуются для инженерного расчёта дисперсии шумового сигнала.

4.Белый шум.

В радиотехнике так называется стационарный случайный процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотностью мощности:

(18)

Термин «белый шум» подчёркивает аналогию с «белым» (естественным) светом у которого в пределах видимого диапазона интенсивность всех спектральных составляющих одинакова. По теореме Винера – Хинчина:

(19).

Средняя мощность (дисперсия) белого шума неограниченно велика.

Дата добавления: 2013-12-12