Ортогональные матрицы

Собственные вектора и собственные значения самосопряженного оператора.

Док-во.

Самосопряженные операторы.

Оператор А наз. Самосопряженным, если

ТЕОРЕМА. В ортонормированном базисе матрица самосопряженного оператора всегда симметрична.

матрица симметрична.

ТЕОРЕМА 1. Собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

ТЕОРЕМА 2. Собственные вектора самосопряженного оператора, отвечающего различным собственным значениям ортогональны

Док-во. Пусть

Умножая скалярно и вычитая, получим:

ТЕОРЕМА 3. В евклидовом пространстве L cуществует ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора. Другими словами самосопряженный оператор- оператор простой структуры.

Матрица, столбцы кот. Образуют ортонормированную систему векторов, назыв. Ортогональной.

Cв-ва ортогональной матрицы.

1.

2.

3.det A=

Докажем 1:

Представим матрицу как набор столбцов:

Докажем 3.

Дата добавления: 2013-12-12