Обобщенный импульс. Преобразование Лежандра. Уравнения Гамильтона. Канонически сопряженные велечины.

Одномерный эффективный потенциал.

Рассмотрим график одномерного эффективного потенциала:

, ,

Финитное движение – движение, происходящее в ограниченной части пространства.

(1) – инфинитное движение (гипербола).

(2) – движение (инфининтное) идет по параболе E=0.

(3) – движение (финитное) идёт по эллиптической траектории, и - точки поворота.

(4) – движение по окружности.

(5) – падение на центр тяготения.

Каждой обобщенной координате соответствует обобщенный импульс:

Рассмотрим функцию :

перейдем от к

Здесь - функция переменных и . - отсюда находим . Это и есть преобразование Лежандра.

Рассмотрим функцию Лагранжа . От и перейдем к и :

- обобщенный импульс

используя уравнение Лагранжа , получим:

Мы перешли к переменным , , . По определению:

- функция Гамильтона.

Выразим через и . Из получаем . Запишем :

Сравнивая два этих выражения, получаем:

Это уравнения движения Гамильтона, их так же называют каноническими. Их штук. В отличие от дифференциальных уравнений Лагранжа, которые были 2-го порядка, эти дифференциальных уравнений первого порядка. Для решения уравнений надо задать начальных условий, или динамических переменных в какой-то момент времени: и . и - динамические переменные в методе Гамильтона.

Обратимся к равенству. Величины и называют канонически сопряжёнными величинами (по Гамильтону). Канонические преобразования в методе Гамильтона служат для перехода от одних динамических переменных к другим.

Функцию Гамильтона можно также получить ещё с помощью вариационного метода.

Дата добавления: 2013-12-12