Решение волнового уравнения в случае плоской электромагнитной волны в вакууме

Волновое уравнение в случае вакуума.

Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в вакууме.

Нормальные электромагнитные волны в вакууме – это поля, которые могут существовать в отсутствии источников.

Будем рассматривать нормальные волны (т.е. без учёта источников). Уравнения Максвелла в вакууме имеют вид:

Величины и определяют свойства источников поля. Нормальные волны существуют без источников, тогда здесь уравнения Максвелла:

□

Аналогично уравнение получаем для :

□

Здесь будем использовать калибровку поперечных волн (), т.к. в вакууме электромагнитные волны плоские поперечные волны. Тогда:

Волновое уравнение для :

Где - это различные компоненты векторов .

Волна плоская, т.к. фронт распространения волны представляет собой плоскость.

Имеем систему координат, точку на фронте волны ,

нормаль к фронту волны . Тогда уравнение фронта волны (т.е. плоскости): . Но т.к. эта плоскость движется, то появляется зависимость от времени.

Если фронт волны- сфера, т.е. волна сферическая, то уравнение фронт а волны и:

Учтём обстоятельство, что форма фронта волны налагает на некоторые ограничения. Введём некоторые вспомогательные координаты:

И будем упрощать оператор □. Можно перейти от () к (). Рассчитаем и , где функция - сложная.

Рассмотрим компоненту:. Тогда:

Следовательно:

Это для случая плоской монохроматической волны. В результате имеем:

Тогда оператор □

Итак, □ , тогда .

где . Следовательно,

Тогда , где и

Выясним, как происходит движение фронтов волны для 1 и для 2 случаев:

1 случай:

,

(*)

Получили, что фронт волны перемещается. Продифференцируем (*) по времени:

где - фазовая скорость. Тогда . Для среды , для вакуума

, тогда . Для вакуума

2 случай:

,

(**)

Продифференцируем (**) по времени:

- фазовая скорость

И мы поучили, что фронт волны распространяется в обе стороны. Если волна не встречает препятствий, то решение - и , иначе решение усложняется.

Дата добавления: 2013-12-12