Необходимый признак сходимости рядя

Свойства сходящихся числовых рядов

1. Если ряд сходится и сумма его s и если , то ряд

тоже сходится и сумма его С s. Отсюда следует, что постоянный множитель можно выносить за знак суммы сходящегося ряда.

2. Если ряды и (для краткости опустим индексы) сходятся и суммы их соответственно равны s₁ и s₂, то ряд тоже сходится и сумма его s= s₁+s_2. Таким образом, сходящиеся ряды можно почленно складывать (вычитать). Сумму членов всякого ряда можно представить в виде , где первое слагаемое - -я частичная сумма, а второе - остаток ряда.

3. Если ряд сходится, то сходится и любой его остаток, и обратно, если остаток ряда сходится, то и ряд сходится. Иначе говоря, на сходимость (расходимость) ряда не влияет отбрасывание (прибавление) конечного числа его членов. Меняется только сумма сходящегося ряда.

Теорема (необходимый признак сходимости): Если ряд сходится, то предел его общего члена стремится к нулюпри , тоесть

(10.2)

Пусть ряд сходится. Это значит, что и (на

сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа членов). Рассматривая разность этих пределов, видим, что или , но , значит . Этот результат следует из

условия, что ряд сходится.

Следствие: Если условие (10.2) не выполняется, то ряд расходится

Пример 10.4. Может ли сходиться ряд ?

Решение, Проверим, выполняется ли условие (10.2). Найдем . Значит, ряд расходится.

Подчеркнем, что условие (10.2) является лишь необходимым, но не достаточным условием сходимости. Есть ряды, для которых это условие выполняется, но ряды расходятся. Таковым является, например,

гармонический ряд .И хотя , этот ряд расходится. Покажем, что гармонический ряд расходится. Для чего запишем его таким образом

и составим вспомогательный ряд, заменив все предшествующие дроби, стоящие в скобках, на последнюю в каждой скобке дробь, чтобы всеих

суммы были равны

Так как , то вспомогательный ряд не может сходиться, он

расходится. Но члены гармонического ряда не меньше соответствующих типов вспомогательного расходящегося ряда, значит, для него тем более и потому гармонический ряд расходится. Любопытно отметить, что возрастают очень медленно, подсчитано, что . Этот результат для нас важен потому, что мы многие ряды можем сравнивать с гармоническим, о чем скажем дальше.

Дата добавления: 2013-12-12