Определение. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными

Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dxz = f(x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Производные и дифференциалы высших порядков

Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал.

Частные производные.

Можно записать

.

Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:

Аналогично определяется частная производная функции по у.

Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N₀(x₀, y₀, z₀) к сечению поверхности плоскостью у = у₀.

Полное приращение и полный дифференциал.

Определение. Для функции f(x, y) выражение Dz = f(x + Dx, y + Dy) – f(x, y) называется полным приращением.

Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то

Применим теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа.) к выражениям, стоящим в квадратных скобках.

здесь

Тогда получаем

Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:

Определение. Выражение называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a₁ и a₂ – бесконечно малые функции при Dх ® 0 и Dу ® 0 соответственно.

Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у).

Для функции произвольного числа переменных:

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Пример. Найти полный дифференциал функции

Частные производные высших порядков.

Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части.

Будем называть эти производные частными производными первого порядка.

Производные этих функций будут частными производными второго порядка.

Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.

Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение:

.

Т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.

Аналогично определяются дифференциалы высших порядков.

…………………

Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего с скобках выражения.

При использовании компьютерной версии “ Курса высшей математики ” возможно запустить программу, которая находит все производные до второго порядка включительно для функции двух переменных.

Дата добавления: 2013-12-12