Условия нахождения экстремума функции

Точечное квадратичное аппроксимирование функций

Если порядок m приближающего полинома Q_m(х) значительно меньше числа узлов n, то интерполирование невозможно. В этом случае используют точечный способ наименьших квадрантов. При этом за меру отклонения полинома берут:

Q_m(х) = a₀ + a₁x + … + a_mx^m (1)

от данной функции f(x) на множестве точек х₀, х₁,…, х_n принимают величину

(2)

Т. к. S_m = S_m (a₀, a_1, …, a_m),то задача сводиться к поиску коэффициентов a_i,

, минимизирующих S_m. Полученный полином называется аппроксимирующим, а процедура его построения – точечной квадратичной аппроксимацией.

Условие минимума: , т.е. второй дифференциал >0.

Т. о. условие экстремума дает систему m+1 уравнений m+1 неизвестными

(3)

Введем обозначения:

k=(0,1,2)

Например: k=1;

тогда S₁ = х₀+ х₁+…+ х_n

t₁ = х₀y₀+ х₁ y₁+…+ х_n y_n

t₀ = х₀⁰ y₀+ х₁⁰ y₁+…+ х_n⁰ y_n =Σy_i

S₀= х₀⁰ + х₁⁰ +…+ х_n⁰ =1+1…1 = n+1

Тогда система (3) примет вид:

a₀ s₀ + a₁ s₁ + a₂ s₂ +…+ a_m s_m = t₀

a₀ s₁ + a₁ s₂ + a₂ s₃ +…+ a_m s_m+1 = t₀ (4)

a₀ s₂ + a₁ s₃ + a₂ s₄+…+ a_m s_m+2 = t₀

a₀ s_m + a₁ s_m+1 + a₂ s_m+2 +…+ a_m s_2m = t₀

где S₀ = n+1.

Если среди точек x_0, х_1,…, х_n нет совпадающих и m≤n, то определитель системы (4) отличен от нуля и система имеет единственное решение a₀=a₀٭,a₁=a₁٭,…,a_m=a_m٭

Полином (1) с таким коэффициентом будет обладать минимальным среднеквадратичным отклонением S_min.

Если m=n, то Q_m(x) совпадает с полиномом Лагранжа

(т.е. будет решаться задача интегрирования) и S_min=0.

,то аппроксимирования функций – более общий процесс, чем интерполирование.

Пример: подобрать аппроксимирующий полином второй степени

y = a₀+a₁x+a₂x² для данных:

х	0,78	1,56	2,34	3,12	3,81
y	2,5	1,2	1,12	2,25	4,28

m = 2

n = 4 (n+1=5)

Cтроим таблицу

X^0	X	X^2	X^3	X^4	Y	XY	X^2Y
	0,78	0,608	0,475	0,37	2,5	1,95	1,52
	1,56	2,434	3,796	5,922	1,2	1,872	2,921
	2,34	5,476	12,813	29,982	1,12	2,621	6,133
	3,12	9,734	30,371	94,759	2,25	7,02	21,902
	3,81	14,516	55,306	210,717	4,28	16,307	62,28
S	11,61	32,768	102,761	341,75	11,35	29,77	94,604

Cоставляем уравнения для коэффициентов а₀,а₁,а₂ :

5 a₀ + 11.61 a₁ + 32.768 a₂ = 11.350

11.61 a₀ + 32.768 a₁ + 102.761 a₂ = 29.770 (5)

32.768 a₀ + 102.761 a₁ + 341.750 a₂ = 94.604

Решая систему (S) получаем:

а₀=5.045; а₁=4.043; а₂=1,009.

Т.е. у = 5.045 – 4.043 х + 1.009 х²

Сопоставим некоторые значения Y_i с вычисляемыми (6)

X	Y	Y	ε=Y-Y
0,78	2,5	2,505	0,005
1,56	1,2	1,194	-0,006
2,34	1,12	1,11	-0,01
3,12	2,25	2,252	0,002
3,81	4,28	4,288	0,008

|ε|_max=0.01

Удобнее пользоваться при оценке «качества» приближения не таблицей, а одним показателем – среднеквадратической нормой.

d (f, Q_m) = ([f (x_i) – Q_m(x_i)] ²)^1/2

Или величиной

∂ (f, Q_m) = d (f, Q_m)/ ║f║, где ║f║ - норма функции;

║f║ =

В нашем случае: d = ≈15*10^-3 (0.015)

Еще более удобный показатель – относительное среднеквадратическое отклонение ∂

∂(f, Q_m) = d (f, Q_m)/ ║f║ - безразмерная величина.

В нашем случае ║f║ = =

∂(f, Q_m) ≈2,6*10^-3 = 0,0026

Правильнее было бы называть среднеквадратическим отклонением величину

Мы рассмотрели приближение функции обычным полиномом. Рассмотрим теперь аппроксимацию обобщенным полиномом.

Q_m (х)=C₀φ₀ (x)+C₁φ₁ (x) +...+ C_mφ_m (x).

Теперь необходимо минимизировать сумму квадратов

_n

S_m=Σ [C₀φ₀ (x_і) + C₁φ₁ (x_і) +...+ C_mφ_m (x_і) – f (x_і)]²

^і=0

Условия экстремума дают систему уравнений

(7)

_n

Введем обозначения: (φ,ψ) = Σ φ (x_і) × ψ (x_і)

^і=0

Тогда (7) примет вид:

C₀ (φ₀, φ₀) + C₁ (φ₁, φ₀) +…+ C_m (φ_m, φ₀) = (f, φ₀)

C₀ (φ₀, φ₁) + C₁ (φ₁, φ₁) +…+ C_m (φ_m, φ₁) = (f, φ₁) (8)

C₀ (φ₀, φ_m) + C₁ (φ₁, φ_m) +…+ C_m (φ_m, φ_m) = (f, φ_m)

Из этой системы определяют коэффициенты C₀, C₁,…, C_m.

Дата добавления: 2013-12-12