Свойства определителя

Правила для вычисления определителя 3-го порядка

1. Правило параллельного переноса.

т.е. дописываем первые два столбца определителя матрицы. Далее суммируем произведения элементов главной диагонали и двух параллельных и вычитаем из них произведения элементов побочной диагонали и двух ей параллельных (над верхними элементами диагоналей проставлены соответствующие знаки).

2. Правило треугольника.

В данном правиле берется произведение элементов главной диагонали со знаком «» и произведение элементов двух параллельных ей диагоналей, которые замыкаются треугольником до углового элемента. Из этой суммы вычитаются произведение элементов побочной диагонали и произведения элементов двух параллельных ей диагоналей, которые замыкаются треугольником до угловых элементов.

Определение: Матрица называется вырожденной или особенной, если ее определитель равен нулю.

Все свойства определителя следуют из определения определителя и свойств конечных сумм, приводятся без общих доказательств с демонстрацией на примере определителей 2-го и 3-го порядков.

Свойство 1. Равноправность строк и столбцов. Определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами

(11.4)

Т.е. .

Для доказательства этого свойства достаточно вычислить определители в левой и правой частях равенства и убедиться в равенстве полученных при этом членов.

В связи с этим свойством в дальнейшем вместо слов «строка» или «столбец» будем говорить просто «ряд», подразумевая их равноправность.

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определителя его модуль сохраняет прежнее значение, а знак меняется на противоположный

Пример: .

Для доказательства этого свойства достаточно вычислить по правилу треугольника определители, стоящие в правой и левой частях равенства.

Следствие 1: Определитель с двумя одинаковыми рядами равен нулю.

Действительно, при перестановке двух одинаковых рядов абсолютное значение определителя не изменится, а, с другой стороны, в силу свойства 2 изменит знак на противоположный, т.е. , значит , следовательно, .

Следствие 2. Сумма произведений элементов какого либо ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.

Действительно, все такие разложения представляют из себя определители, содержащие два одинаковых ряда:

Свойство 3. О бщий множитель элементов какого либо ряда можно выносить за знак определителя.

.

Действительно, поскольку определитель можно вычислить, раскладывая его по элементам строки (столбца), вычислим определитель, раскладывая его по элементам строки, умноженной на число , тогда каждое слагаемое будет содержать множитель, который может быть вынесен за скобку.

Следствие 1. Если все элементы какого-либо ряда равны нулю, то определитель равен нулю.

Следствие 2. Если все элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то определитель равен нулю.

Действительно,

Свойство 4. Линейное свойство определителя. Если в определителе -го порядка некоторая -ая строка представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей. Первый определитель будет иметь в -ой строке первые из упомянутых слагаемых, элементы в остальных строках будут такими же, как и в исходном определителе, а второй определитель в -ой строке будет иметь вторые из упомянутых слагаемых, а остальные строки будут совпадать с исходным определителем, т.е.

.

Это свойство следует из определения определителя, если разложить его по элементам -ой строки, а затем воспользоваться распределительным законом суммы.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1) умножение строки (столбца) на число отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца);

3) перестановка строк (столбцов).

Дата добавления: 2013-12-11