КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Преобразование координат при преобразовании базиса n-мерного линейного пространства
Примеры конкретных линейных пространств. 1. – -мерное координатное пространство или совокупность строк содержащих – вещественных чисел. Операция сложения и умножения на число определены следующим образом: а); б). Аксиомы 1-8 проверяются элементарно. 2. Множество всех положительных вещественных чисел. Под суммой [x+y]=x*y (будем понимать произведение), а под умножением [λ*x]=xλ, тогда нулевым элементом множества будет являться 1, а противоположным x, , тогда аксиомы 1-8 легко проверяются. 3.Множество всех положительных вещественных чисел , где сумма и умножение на число определяются стандартным образом [x+y]=x+y, [λx]= λx не является линейным пространством. 4. Аналогично множество всех многочленов степени не является линейным пространством, т. к. сумма может оказаться степени < . Определение. Линейной комбинацией элементов пространства называются выражения вида , где , говорят что - линейно зависимы, если , такие что , а . - неявляющиеся линейно зависимыми называют линейно независимыми. Определение. Совокупность линейно независимых элементов пространства называется базисом этого пространства, если для существуют (вещественные числа), такие, что справедливо равенство , где - координаты (коэффициенты) в базисе пространства . Теорема. При сложении любых двух элементов линейного пространства их координаты (относительно любого базиса) складываются; при умножении произвольного элемента на любые числа α все координаты этого элемента умножаются на α. Доказательство. Пусть базис , и - два элемента . Тогда в силу аксиом 1-8 , . Определение. Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует n-линейно независимых элементов, а любые () элементы уже являются линейно зависимыми, – называют размерностью и обозначают . Линейное пространство называют бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов.
Теорема. Если , то любые - линейно независимых элементов этого пространства образуют базис. Если линейное пространство имеет базис, состоящий из элементов, следовательно, . Определение (понятие линейного подпространства). Подмножество и удовлетворяющее условиям: 1. если , то ; 2. если ; называется линейным подпространством (или просто подпространством) пространства R. Определение. Линейной оболочкой элементов называется совокупность всех линейных комбинаций этих элементов, т. е. множество элементов вида , где (любые действительные числа), линейную оболочку принято обозначать как , ясно, что . равна максимальному числу линейно независимых элементов (которые составляют базис линейной оболочки). Определение (новое определение ранга матрицы). Ранг произвольной матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (или столбцов) этой матрицы. Пусть и - два произвольных базиса -мерного пространства R, тогда может быть разложен по базису , т. е. или , Умножим каждое уравнение системы на алгебраические дополнения элементов j-го столбца определителя и сложим все уравнения, в результате получаем: , , для , , где коэффициенты представляют матрицу равную , т.е. переход от одного к другому базису осуществляется с помощью обратной матрицы , если . Утверждение. Если переход от одного базиса к другому осуществляется с помощью невырожденной матрицы , то переход от координат произведения элемента относительно первого базиса к координатам этого элемента относительно второго базиса осуществляется с помощью матрицы .
Дата добавления: 2013-12-11; Просмотров: 609; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |