Формулы Ньютона-Лейбница

Работа переменной силы

Пусть материальная точка перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси OX и имеющей переменную величину . Найдем работу по перемещению точки М на . . Для определения приближенного значения работы на всем участке , нам надо произвести суммирование на всем отрезке.

.

Точность этого равенства возрастает с уменьшением и увеличением n. Поэтому за точное значение работы принимается предел этой суммы

.

Пусть - функция, интегрируемая на .

Теорема: Если - непрерывна на отрезке и ее первообразная на отрезке (=), то имеет место соотношение .

Доказательство:

Для этого отрезок разделим точками на n отрезков. Введем средние точки для каждого из отрезков . Рассмотрим соотношение .

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранже .

Получим: ,

т.е. . Т.к. непрерывна на , то она интегрируема на , поэтому перейдя к пределу при . Получим:

.

Формула Ньютона-Лейбница позволяет получить удобный способ вычисления определенных интегралов. Чтобы вычислить определенный интеграл от неправильной функции на отрезке надо найти ее первообразную функцию и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка .

Пример:

.

Дата добавления: 2013-12-12