Вычисление определенного интеграла

1) Наиболее простым способом вычисления определенного интеграла является формула Ньютона-Лейбница. Применить этот способ можно во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функции для подынтегральной функции . При вычислении определенных интегралов широко используются методы замены переменной интегрирования по частям.

а) Интегрирование подстановкой

Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка . Причем , а и , тогда .

Пример. Вычислить . Положим , тогда , если , то , если , то . Поэтому

.

б) Интегрирование по частям

Теорема: Если функция и имеют непрерывные производные на отрезке, то должно выполняться соотношение:

- формула интегрирования по частям.

Доказательство.

На отрезке имеет место равенство. Следовательно, функция - есть первообразная для непрерывной функции , тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

отсюда

ч.т.д.

Пример.

Положим

Применяя метод интегрирования по частям, получим:

.

Дата добавления: 2013-12-12