Уравнения дискретного метода. Уравнение равновесия

В) Перенос по таблице метода перемещений

Б) Перенос с сохранением энергии

А) Статически эквивалентный перенос

Поделим балку на два участка, а распределенную в них нагрузку учтем как давления ql/4 на концы участков балки (рис. 12.2 в). Давления на концы балки воспринимаются ее опорами, поэтому их можно не учитывать. Объединив оставшиеся две силы в середине балки, получим статически эквивалентную нагрузку, приложенную в середине балки:

.

Решение этой задачи подробно рассматривать не будем. Отметим только, что для этого необходимо приравнять энергии рассматриваемой балки (рис. 12.2 а) и балки с сосредоточенной силой (рис. 12.2 б). В результате получается «точный» результат:

.

Для этого следует исключить перемещения узла введением дополнительных связей и по таблице метода перемещений определить возникающие реакции во введенных связях (рис. 12.2 г). Если эти реакции сложить и приложить в обратном направлении (рис. 12.2 д), получим величину эквивалентной нагрузки:

.

Теперь сравним три варианта расчета. Конечно, вариант б) дает точный результат. Однако он сложен для реализации. Вариант а) наиболее прост, но дает неточный результат. Поэтому в дальнейшем будем пользоваться вариантом в), вполне простым для использования и дающим вполне точный результат.

В качестве примера рассмотрим следующую раму (рис. 12.3 а) и выберем ее расчетную модель (рис. 12.3 б). Для переноса нагрузок P и q в двух элементах рамы в узлы расчетной модели воспользуемся таблицей метода перемещений. Соответствующие схемы показаны на рис. 12.3 в, г. Полученные реакции с обратным знаком переносим в узлы выбранной расчетной модели (рис. 12.3 б).

Рис. 12.3

Система уравнений, составляемая в дискретном методе, называется полной системой уравнений строительной механики. В нее входят три уравнения – уравнение равновесия (статики), геометрическое уравнение и физическое уравнение.

Составление уравнения равновесия основано на следующем рассуждении: если сооружение находится в равновесии, то его дискретная модель также находится в равновесии; следовательно, и отдельные элементы и узлы дискретной модели тоже находятся в равновесии.

В качестве примера рассмотрим ферму (рис. 12.4 а).

Рис. 12.4

Выберем дискретную модель фермы (рис. 12.4 б) и будем считать, что в ее элементах e¹ и e² возникают только продольные усилия. Поэтому, вырезав узел 1 (рис. 12.4 в), можно составить два уравнения равновесия узла как суммы проекций сил на направления перемещений узла u₁ и u₂:

,

.

Дата добавления: 2013-12-12