Определение перемещений, усилий и напряжений

Учет граничных условий

Разрешающее уравнение МКЭ нельзя сразу решить относительно перемещений u. Причина в том, что при его составлении не учтены граничные условия закрепления сооружения в опорах. Поэтому матрица жесткости K является вырожденной (т.е. ее определитель равняется нулю). Чтобы выйти из положения, вектор перемещений приходится делить на две части – на перемещения по закрепленным (з) и незакрепленным (н) направлениям:

.

Так как опоры сооружения обычно бывают достаточно жесткими, их перемещения можно принять равными нулю (), а нагрузку, приходящуюся на опоры, не учитывать. В таком случае разрешающее уравнение преобразуется в уравнение меньшего размера. Однако такая процедура существенно меняет структуру матрицы жесткости K и усложняет дальнейшее решение.

Поэтому используется другой прием: все элементы строк и столбцов матрицы жесткости, соответствующие закреплениям, приравниваются нулю, и лишь вместо их диагональных элементов ставятся единицы. В таком случае разрешающее уравнение упрощается без нарушения ее структуры и принимает вид:

.

Здесь E − единичная матрица, и − блоки матрицы жесткости и вектора нагрузки, соответствующие незакрепленным направлениям.

После решения разрешающего уравнения и определения вектора узловых перемещений u из этого вектора можно выбирать перемещения отдельных КЭов и определять перемещения в интересующих точках любого i- го КЭ по формуле

.

Усилия в узлах и напряжения внутри КЭов вычисляются по формулам

,

.

В конкретных случаях последнюю формулу можно упростить. Например, напряжения ферменного элемента определяются так:

.

Дата добавления: 2013-12-12